Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Comunidad de Madrid · 2018 · Julio · Opción B

Enunciado

Un grupo de estudiantes ha realizado un viaje por tres países (Francia, Alemania y Suiza). En los hoteles cada estudiante ha pagado: 20 euros diarios en Francia, 25 euros diarios en Alemania y 30 euros diarios en Suiza. En comidas cada uno ha gastado: 20 euros diarios en Francia, 15 euros diarios en Alemania y 25 euros diarios en Suiza. Además, el transportista les ha cobrado 8 euros diarios a cada uno. Sabiendo que el gasto total del viaje ha sido 765 euros por persona, que ha durado 15 días y que han estado en Francia el doble de días que en Suiza, obtenga el número de días que han estado en cada uno de los tres países.

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Resultado

\boxed{6 \text{ días en Francia},\quad 6 \text{ días en Alemania},\quad 3 \text{ días en Suiza}}

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Estrategia

Tres incógnitas (los días en cada país) y tres datos que las relacionan: el gasto total, la duración y la relación Francia-Suiza. Cada dato es una ecuación.

Lo único delicado es el gasto: conviene juntar, para cada país, lo que cuesta un día (hotel + comida + transporte) y multiplicarlo por los días pasados allí. El transporte cuesta 8 euros cada día del viaje, esté donde esté el grupo.

Después resolvemos el sistema por Gauss (o por sustitución, que aquí es rapidísimo) y comprobamos en el enunciado.

Desarrollo

Incógnitas.

x

= días en Francia,

y

= días en Alemania,

z

= días en Suiza.

Gasto por persona y día (hotel + comida + transporte):

Francia: $20 + 20 + 8 = 48$ euros.
Alemania: $25 + 15 + 8 = 48$ euros.
Suiza: $30 + 25 + 8 = 63$ euros.

Ecuaciones.

Gasto total: $48x + 48y + 63z = 765$ , que dividida entre 3 queda $16x + 16y + 21z = 255$ .
Duración: $x + y + z = 15$ .
Francia el doble que Suiza: $x = 2z$ , es decir, $x - 2z = 0$ .

\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 15 \\ 16x + 16y + 21z = 255 \\ x - 2z = 0 \end{array}\right.

Discusión. El determinante de la matriz de coeficientes es

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 16 & 16 & 21 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = 1\,(-32 - 0) - 1\,(-32 - 21) + 1\,(0 - 16) = -32 + 53 - 16 = 5 \neq 0,

así que el sistema es compatible determinado: solución única.

Resolución por Gauss.

F_2 \to F_2 - 16F_1

F_3 \to F_3 - F_1

\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 15 \\ 16 & 16 & 21 & 255 \\ 1 & 0 & -2 & 0 \end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 5 & 15 \\ 0 & -1 & -3 & -15 \end{array}\right)

De la segunda fila,

5z = 15 \Rightarrow z = 3

. De la tercera,

-y - 9 = -15 \Rightarrow y = 6

. De la primera,

x = 15 - 6 - 3 = 6

.

Comprobación.

Duración: $6 + 6 + 3 = 15$ días ✓.
Francia el doble que Suiza: $6 = 2 \cdot 3$ ✓.
Gasto: hoteles $20\cdot 6 + 25 \cdot 6 + 30 \cdot 3 = 360$ ; comidas $20\cdot 6 + 15\cdot 6 + 25\cdot 3 = 285$ ; transporte $8 \cdot 15 = 120$ . Total $360 + 285 + 120 = 765$ euros ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error típico es olvidar el transporte o sumarlo una sola vez (8 euros) en lugar de $8 \cdot 15 = 120$ euros: son 8 euros cada día. Agrupar el coste diario por país evita el despiste.

La corrección da medio punto por cada ecuación bien planteada: escribe qué es cada incógnita y de dónde sale cada ecuación antes de ponerte a operar.