Probabilidad

Sucesos: $D$ = «es diabético», $S$ = «sabe que tiene diabetes», $+$ = «da positivo en el test». Datos:$$P(D) = 0{,}138, \qquad P(\overline{S} \mid D) = 0{,}43 \;\Longrightarrow\; P(S \mid D) = 1 - 0{,}43 = 0{,}57$$a) Ser diabético y saberlo:$$P(D \cap S) = P(D)\cdot P(S \mid D) = 0{,}138 \cdot 0{,}57 = 0{,}07866$$«No ser diabético o no saber que lo es» es $\overline{D} \cup \overline{S}$, y por De Morgan $\overline{D} \cup \overline{S} = \overline{D \cap S}$. Por tanto:$$P(\overline{D} \cup \overline{S}) = 1 - P(D \cap S) = 1 - 0{,}07866 = 0{,}92134$$(Quien no es diabético tampoco «sabe que lo es», así que ese suceso incluye a todos los no diabéticos y a los diabéticos que no lo saben: $0{,}862 + 0{,}138\cdot 0{,}43 = 0{,}862 + 0{,}05934 = 0{,}92134$ ✓.)

b) El test detecta el $96\,\%$ de los diabéticos y da positivo en el $2\,\%$ de los sanos:$$P(+ \mid D) = 0{,}96, \qquad P(+ \mid \overline{D}) = 0{,}02, \qquad P(\overline{D}) = 1 - 0{,}138 = 0{,}862$$En forma de árbol:

• $D$ ($0{,}138$) → positivo ($0{,}96$): $0{,}138 \cdot 0{,}96 = 0{,}13248$
• $\overline{D}$ ($0{,}862$) → positivo ($0{,}02$): $0{,}862 \cdot 0{,}02 = 0{,}01724$

Probabilidad total de dar positivo:$$P(+) = P(D)\,P(+ \mid D) + P(\overline{D})\,P(+ \mid \overline{D}) = 0{,}13248 + 0{,}01724 = 0{,}14972$$Teorema de Bayes:$$P(D \mid +) = \frac{P(D)\,P(+ \mid D)}{P(+)} = \frac{0{,}13248}{0{,}14972} \approx 0{,}8849$$Es decir, alrededor del $88{,}5\,\%$ de los que dan positivo son realmente diabéticos; el $11{,}5\,\%$ restante son falsos positivos, que pesan bastante porque los no diabéticos son muchos más.