Vectores y ángulos

a) Producto vectorial:$$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (2\cdot(-1) - 3\cdot 0)\,\vec{i} - \big((-1)(-1) - 3\cdot 2\big)\,\vec{j} + \big((-1)\cdot 0 - 2\cdot 2\big)\,\vec{k} = (-2,\ 5,\ -4)$$Comprobamos la ortogonalidad: $(-2,5,-4)\cdot(-1,2,3) = 2 + 10 - 12 = 0$ ✓ y $(-2,5,-4)\cdot(2,0,-1) = -4 + 0 + 4 = 0$ ✓.

Su módulo es $\sqrt{4 + 25 + 16} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$. Los dos vectores unitarios ortogonales a $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son $\pm\frac{1}{3\sqrt{5}}(-2, 5, -4)$; con el signo $+$ la tercera coordenada es $-\frac{4}{3\sqrt{5}} < 0$, que es la que se pide:$$\vec{w}_1 = \left(\frac{-2}{3\sqrt{5}},\ \frac{5}{3\sqrt{5}},\ \frac{-4}{3\sqrt{5}}\right) = \left(-\frac{2\sqrt{5}}{15},\ \frac{\sqrt{5}}{3},\ -\frac{4\sqrt{5}}{15}\right)$$b) Sea $\vec{w}_2 = a\,\vec{u} + b\,\vec{v}$. Como $\vec{u}\cdot\vec{v} = -2 + 0 - 3 = -5$ y $\vec{v}\cdot\vec{v} = 4 + 0 + 1 = 5$:$$\vec{w}_2 \cdot \vec{v} = a\,(\vec{u}\cdot\vec{v}) + b\,(\vec{v}\cdot\vec{v}) = -5a + 5b = 0 \;\Longrightarrow\; a = b$$Cualquier $a = b \neq 0$ sirve (si $a = b = 0$ sale el vector nulo, que está excluido; y como $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no son proporcionales, con $a = b \neq 0$ el vector no es nulo). Tomando $a = b = 1$:$$\vec{w}_2 = \vec{u} + \vec{v} = (-1 + 2,\ 2 + 0,\ 3 - 1) = (1,\ 2,\ 2)$$Comprobación: $(1, 2, 2)\cdot(2, 0, -1) = 2 + 0 - 2 = 0$ ✓.

c) Llamemos $O$, $B$, $A$, $D$ a los vértices consecutivos, con $\overrightarrow{OB}$ en la dirección de $\vec{u}$ y $\overrightarrow{OD}$ en la de $\vec{v}$. Entonces $\overrightarrow{OB} = \lambda\vec{u}$, $\overrightarrow{OD} = \mu\vec{v}$ y la diagonal es$$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA} = \lambda\,\vec{u} + \mu\,\vec{v}$$$$(-4, 4, 7) = \lambda(-1, 2, 3) + \mu(2, 0, -1) \;\Longrightarrow\; \left\{\begin{array}{l} -\lambda + 2\mu = -4 \\ 2\lambda = 4 \\ 3\lambda - \mu = 7 \end{array}\right.$$De la segunda, $\lambda = 2$; de la primera, $-2 + 2\mu = -4 \Rightarrow \mu = -1$. La tercera se cumple: $6 + 1 = 7$ ✓ (el sistema es compatible porque $A$ está en el plano que generan $\vec{u}$ y $\vec{v}$ por $O$; si no, no habría paralelogramo).

Los vértices que faltan son$$B = O + 2\vec{u} = (-2,\ 4,\ 6), \qquad D = O - \vec{v} = (-2,\ 0,\ 1)$$Comprobación. $B + (-\vec{v}) = (-2 - 2,\ 4,\ 6 + 1) = (-4, 4, 7) = A$ ✓ y $D + 2\vec{u} = (-2 - 2,\ 0 + 4,\ 1 + 6) = (-4, 4, 7) = A$ ✓. Además, las diagonales $OA$ y $BD$ tienen el mismo punto medio: $\left(-2, 2, \frac{7}{2}\right)$ ✓.

El paralelogramo tiene vértices $O(0,0,0)$, $B(-2,4,6)$, $A(-4,4,7)$ y $D(-2,0,1)$.