Matrices

a) Desarrollamos el determinante por la primera fila (tiene un cero):$$|A| = \begin{vmatrix} 14 & 0 & 10 \\ 0 & 7 & 5 \\ 3 & 4 & 5\alpha \end{vmatrix} = 14\,(35\alpha - 20) - 0 + 10\,(0 - 21) = 490\alpha - 280 - 210 = 490\alpha - 490 = 490(\alpha - 1)$$Se anula solo para $\alpha = 1$.

• Si $\alpha \neq 1$: $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 3$.
• Si $\alpha = 1$: $|A| = 0$, así que $\operatorname{rg}(A) < 3$. El menor formado por las dos primeras filas y columnas es

$$\begin{vmatrix} 14 & 0 \\ 0 & 7 \end{vmatrix} = 98 \neq 0,$$luego $\operatorname{rg}(A) = 2$.

b) Para $\alpha = 0$:$$A = \begin{pmatrix} 14 & 0 & 10 \\ 0 & 7 & 5 \\ 3 & 4 & 0 \end{pmatrix}, \qquad |A| = 490 \cdot (0 - 1) = -490 \neq 0,$$así que $A$ es invertible. Calculamos los adjuntos $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$:$$A_{11} = \begin{vmatrix} 7 & 5 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = -20, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 15, \quad A_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 7 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -21$$$$A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 10 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = 40, \quad A_{22} = \begin{vmatrix} 14 & 10 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = -30, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 14 & 0 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -56$$$$A_{31} = \begin{vmatrix} 0 & 10 \\ 7 & 5 \end{vmatrix} = -70, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 14 & 10 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = -70, \quad A_{33} = \begin{vmatrix} 14 & 0 \\ 0 & 7 \end{vmatrix} = 98$$La adjunta traspuesta (cada fila de adjuntos pasa a columna) y la inversa:$$(\operatorname{Adj} A)^t = \begin{pmatrix} -20 & 40 & -70 \\ 15 & -30 & -70 \\ -21 & -56 & 98 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; A^{-1} = \frac{1}{-490}\begin{pmatrix} -20 & 40 & -70 \\ 15 & -30 & -70 \\ -21 & -56 & 98 \end{pmatrix} = \frac{1}{490}\begin{pmatrix} 20 & -40 & 70 \\ -15 & 30 & 70 \\ 21 & 56 & -98 \end{pmatrix}$$Simplificando cada fracción:$$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2}{49} & -\frac{4}{49} & \frac{1}{7} \\[4pt] -\frac{3}{98} & \frac{3}{49} & \frac{1}{7} \\[4pt] \frac{3}{70} & \frac{4}{35} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix}$$Comprobación. Primera fila de $A$ por las columnas de $490\,A^{-1}$: $14 \cdot 20 + 10 \cdot 21 = 490$, $\;14\cdot(-40) + 10 \cdot 56 = 0$, $\;14 \cdot 70 + 10\cdot(-98) = 0$. Tercera fila: $3\cdot 20 + 4\cdot(-15) = 0$, $\;3\cdot(-40) + 4 \cdot 30 = 0$, $\;3 \cdot 70 + 4 \cdot 70 = 490$. Sale $490\,I$, como debe ✓.

c) Para $\alpha = 1$ sabemos que $\operatorname{rg}(A) = 2$. La matriz ampliada es$$(A \mid B) = \left(\begin{array}{ccc|c} 14 & 0 & 10 & 2 \\ 0 & 7 & 5 & 37/2 \\ 3 & 4 & 5 & 11 \end{array}\right)$$Orlamos el menor no nulo $\begin{vmatrix} 14 & 0 \\ 0 & 7 \end{vmatrix}$ con la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 14 & 0 & 2 \\ 0 & 7 & 37/2 \\ 3 & 4 & 11 \end{vmatrix} = 14\left(77 - 74\right) - 0 + 2\,(0 - 21) = 42 - 42 = 0$$El único menor de orden 3 que contiene a ese menor de orden 2 y no es $|A|$ también se anula, así que $\operatorname{rg}(A \mid B) = 2 = \operatorname{rg}(A) < 3$: por Rouché-Frobenius, el sistema es compatible indeterminado, con $3 - 2 = 1$ parámetro.

Nos quedamos con las dos primeras ecuaciones (las del menor no nulo); la tercera es combinación de ellas:$$\left\{\begin{array}{l} 14x + 10z = 2 \\ 7y + 5z = \frac{37}{2} \end{array}\right.$$Tomando $z = t$:$$x = \frac{2 - 10t}{14} = \frac{1 - 5t}{7}, \qquad y = \frac{37/2 - 5t}{7} = \frac{37 - 10t}{14}$$Comprobación en la tercera ecuación:$$3\cdot\frac{1 - 5t}{7} + 4\cdot\frac{37 - 10t}{14} + 5t = \frac{3 - 15t}{7} + \frac{74 - 20t}{7} + 5t = \frac{77 - 35t}{7} + 5t = 11 - 5t + 5t = 11$$Se cumple para todo $t$ ✓.

Por ejemplo, $t = 0$ da $\left(\frac{1}{7}, \frac{37}{14}, 0\right)$ y $t = \frac{1}{5}$ da $\left(0, \frac{5}{2}, \frac{1}{5}\right)$.