Matemáticas IIFácil1,5 pts

Distribución normal

Extremadura · 2018 · Junio · Opción B
Enunciado
A una prueba de oposición se han presentado 25002500 aspirantes para 300300 plazas. Las calificaciones que han obtenido los aspirantes tienen una distribución normal de media 6,56{,}5 y desviación típica 22. Calcule:

a) (0,75 puntos) la nota de corte para los admitidos.

b) (0,75 puntos) la probabilidad de que un alumno elegido al azar tenga una nota mayor que 99.

(Se adjunta la tabla de la normal).
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Resultado
a) Nota de corte≈8,85\boxed{\text{a)}\ \text{Nota de corte} \approx 8{,}85}b) P(X>9)=0,1056\boxed{\text{b)}\ P(X > 9) = 0{,}1056}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Llamamos XX a la nota de un aspirante: X∼N(6,5; 2)X \sim N(6{,}5;\ 2). Las 300 plazas son para las 300 mejores notas, así que la nota de corte cc es el valor que deja por encima la proporción 3002500=0,12\frac{300}{2500} = 0{,}12 de los aspirantes. Es un problema inverso: conocemos la probabilidad y buscamos el valor; tipificamos, buscamos en la tabla el zz cuya probabilidad acumulada es 0,880{,}88 y deshacemos la tipificación.

El apartado b) es directo: tipificar y usar el complementario, porque la tabla da P(Z≤z)P(Z \le z).
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Desarrollo

Sea XX = «nota de un aspirante elegido al azar», X∼N(μ=6,5; σ=2)X \sim N(\mu = 6{,}5;\ \sigma = 2), y Z=X−6,52∼N(0,1)Z = \dfrac{X - 6{,}5}{2} \sim N(0, 1).

a) La proporción de admitidos es3002500=0,12\frac{300}{2500} = 0{,}12Buscamos cc tal que P(X≥c)=0,12P(X \ge c) = 0{,}12, es decir, P(X<c)=0,88P(X < c) = 0{,}88. Tipificando:P(Z<c−6,52)=0,88P\left(Z < \frac{c - 6{,}5}{2}\right) = 0{,}88En la tabla, P(Z≤1,17)=0,8790P(Z \le 1{,}17) = 0{,}8790 y P(Z≤1,18)=0,8810P(Z \le 1{,}18) = 0{,}8810. El valor 0,880{,}88 está justo en medio de los dos, así que tomamos el punto medio, z=1,175z = 1{,}175:c−6,52=1,175  ⟹  c=6,5+2⋅1,175=8,85\frac{c - 6{,}5}{2} = 1{,}175 \;\Longrightarrow\; c = 6{,}5 + 2\cdot 1{,}175 = 8{,}85La nota de corte es 8,858{,}85: son admitidos los aspirantes con nota igual o superior a 8,858{,}85. (Tomar z=1,17z = 1{,}17 o z=1,18z = 1{,}18 daría 8,848{,}84 o 8,868{,}86, también válidos).
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
b) Tipificamos el 99:z=9−6,52=1,25z = \frac{9 - 6{,}5}{2} = 1{,}25P(X>9)=P(Z>1,25)=1−P(Z≤1,25)=1−0,8944=0,1056P(X > 9) = P(Z > 1{,}25) = 1 - P(Z \le 1{,}25) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056Comprobación de sentido. Un 99 está por encima de la nota de corte 8,858{,}85, así que la proporción con más de un 99 tiene que ser algo menor que la de admitidos, 0,120{,}12: 0,1056<0,120{,}1056 < 0{,}12 ✓.
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Consejo

En a) la clave es traducir «300 plazas de 2500» en una probabilidad: el 12 %12\,\% queda por encima del corte, así que en la tabla hay que buscar 0,880{,}88, no 0,120{,}12 (la tabla solo da probabilidades acumuladas a la izquierda).

Cuando la probabilidad buscada no está exacta en la tabla, toma el valor más cercano o el punto medio si cae justo entre dos, y dilo en la respuesta.
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