Matemáticas IIMedio3,5 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Integrales

Extremadura · 2018 · Junio · Opción B

Enunciado

a) (1,5 puntos) Estudie el dominio, las asíntotas y máximos y mínimos de la función

f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}

b) (0,5 puntos) Represente la gráfica de

f(x)

utilizando los datos del apartado anterior.

c) (1,5 puntos) Calcule una primitiva

F(x)

de la función

f(x)

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ \operatorname{Dom} f = \mathbb{R}\setminus\{\pm 1\};\ \text{A.V.: } x = \pm 1;\ \text{A.H.: } y = 0;\ \text{máximo relativo en } (0, -1)}

\boxed{\text{c)}\ F(x) = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right|}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una función racional. En a) el dominio excluye los ceros del denominador, que son los candidatos a asíntotas verticales (las confirmamos con los límites laterales); el límite en

\pm\infty

da la horizontal. Para los extremos derivamos con la regla del cociente y estudiamos el signo de

f'

.

En b) juntamos todo: asíntotas, monotonía, el extremo y la simetría (

f

es par).

En c) el denominador se factoriza,

x^2 - 1 = (x-1)(x+1)

, con raíces reales simples: se integra descomponiendo en fracciones simples, que dan logaritmos.

Desarrollo

a) Dominio.

x^2 - 1 = 0 \iff x = \pm 1

, así que

\operatorname{Dom} f = \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 1\}

Además

f(-x) = f(x)

: la función es par y su gráfica es simétrica respecto del eje

OY

.

Asíntotas verticales. En

x = 1

x = -1

el numerador vale

1 \neq 0

y el denominador se anula. Los límites laterales (el signo lo da el de

x^2 - 1

\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{0^-} = -\infty, \qquad \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{0^+} = +\infty

\lim_{x \to -1^-} \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{0^+} = +\infty, \qquad \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{0^-} = -\infty

Luego

x = 1

x = -1

son asíntotas verticales.

Asíntota horizontal.

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2 - 1} = 0

así que

y = 0

es asíntota horizontal en

-\infty

y en

+\infty

(la gráfica va por encima, porque para

|x| > 1

f(x) > 0

). Al haber horizontal, no hay asíntotas oblicuas.

Máximos y mínimos. Derivamos (cociente, o

f = (x^2 - 1)^{-1}

con la regla de la cadena):

f'(x) = \frac{-2x}{(x^2 - 1)^2}

El denominador es positivo en todo el dominio, así que el signo de

f'

es el de

-2x

f'(x) = 0 \iff x = 0

Intervalo	$(-\infty, -1)$	$(-1, 0)$	$(0, 1)$	$(1, +\infty)$
Signo de $f'$	$+$	$+$	$-$	$-$
$f$	crece	crece	decrece	decrece

x = 0

la función pasa de crecer a decrecer: máximo relativo en

(0, f(0)) = (0, -1)

. No hay mínimos relativos (el otro cambio de monotonía ocurriría en

x = \pm 1

, que no están en el dominio).

b) Con lo anterior:

En $(-1, 1)$ la gráfica está por debajo del eje $OX$ ( $x^2 - 1 < 0$ ): baja desde $-\infty$ junto a $x = -1$ , sube hasta el máximo $(0, -1)$ y vuelve a $-\infty$ junto a $x = 1$ , como una «U» invertida.
En $(1, +\infty)$ está por encima del eje: baja desde $+\infty$ junto a $x = 1$ y se acerca a $y = 0$ sin tocarla.
En $(-\infty, -1)$ , por simetría, sube desde $y = 0$ hasta $+\infty$ junto a $x = -1$ .
No corta al eje $OX$ ( $f(x) = 0$ no tiene solución) y corta al eje $OY$ en $(0, -1)$ .

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

c) Descomponemos en fracciones simples:

\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{\alpha}{x - 1} + \frac{\beta}{x + 1} \;\Longrightarrow\; 1 = \alpha(x + 1) + \beta(x - 1)

Dando valores: con

x = 1

1 = 2\alpha

, luego

\alpha = \frac{1}{2}

; con

x = -1

1 = -2\beta

, luego

\beta = -\frac{1}{2}

. Entonces

\int \frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x - 1} - \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x + 1} = \frac{1}{2}\ln|x - 1| - \frac{1}{2}\ln|x + 1| + C

Una primitiva (tomando

C = 0

F(x) = \frac{1}{2}\ln|x - 1| - \frac{1}{2}\ln|x + 1| = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right|

Comprobación.

F'(x) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x + 1} = \frac{1}{2}\cdot\frac{(x + 1) - (x - 1)}{x^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1} = f(x)

La derivada es la función de partida ✓.

Consejo

En las asíntotas verticales calcula los dos límites laterales: son los que dicen por dónde sube o baja la gráfica junto a la asíntota, y sin ellos el dibujo de b) sale mal.

En la primitiva, el valor absoluto dentro del logaritmo no es un adorno: la función está definida también para $|x| < 1$ , donde $x - 1 < 0$ , y sin él $F$ no existiría allí.