Matemáticas IIFácil2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Extremadura · 2018 · Junio · Opción B

Enunciado

Sean el punto

A = (1,0,1)

y la recta

r

dada por el punto

B = (-1,0,2)

y el vector

\vec{v} = (-1,1,0)

.

a) (1,5 puntos) Calcule la distancia del punto

A

a la recta

r

.

b) (1 punto) Calcule el área del triángulo de vértices

A

B

O

siendo

O = (0,0,0)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ d(A, r) = \sqrt{3} \approx 1{,}73 \ \text{u}}

\boxed{\text{b)}\ \text{Área} = \frac{3}{2} \ \text{u}^2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dos apartados se resuelven con el producto vectorial, cuyo módulo es el área del paralelogramo que forman dos vectores.

En a) el paralelogramo de lados

\overrightarrow{BA}

\vec{v}

tiene por base

|\vec{v}|

y por altura la distancia buscada, así que

d(A, r) = \dfrac{|\overrightarrow{BA}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}

.

En b) el área del triángulo es la mitad del módulo de

\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}

Desarrollo

a) Vector que va del punto de la recta al punto

A

\overrightarrow{BA} = A - B = (1 - (-1),\ 0 - 0,\ 1 - 2) = (2,\ 0,\ -1)

\overrightarrow{BA}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 1)\,\vec{i} - (0 - 1)\,\vec{j} + (2 - 0)\,\vec{k} = (1,\ 1,\ 2)

Módulos:

|\overrightarrow{BA}\times\vec{v}| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}, \qquad |\vec{v}| = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}

d(A, r) = \frac{|\overrightarrow{BA}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3} \approx 1{,}73 \ \text{u}

Comprobación (por la proyección ortogonal). Un punto genérico de

r

X = (-1 - t,\ t,\ 2)

; el vector

\overrightarrow{AX} = (-2 - t,\ t,\ 1)

es perpendicular a

\vec{v}

cuando

(-2 - t)(-1) + t\cdot 1 + 0 = 2 + 2t = 0 \;\Longrightarrow\; t = -1

El pie de la perpendicular es

X = (0, -1, 2)

, y

|\overrightarrow{AX}| = |(-1, -1, 1)| = \sqrt{3}

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Con

\overrightarrow{OA} = (1, 0, 1)

\overrightarrow{OB} = (-1, 0, 2)

\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (0 - 0)\,\vec{i} - (2 + 1)\,\vec{j} + (0 - 0)\,\vec{k} = (0,\ -3,\ 0)

\text{Área} = \frac{1}{2}\,|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}| = \frac{1}{2}\cdot 3 = \frac{3}{2} \ \text{u}^2

Comprobación. Los tres puntos tienen

y = 0

: el triángulo está en el plano

XZ

. Allí su área es la mitad del determinante

\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 3

, es decir,

\frac{3}{2}

✓.

Consejo

La fórmula $d(A, r) = \dfrac{|\overrightarrow{BA}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}$ se deduce en un dibujo: área del paralelogramo = base por altura. Si en el examen no la recuerdas, el método del pie de la perpendicular (punto genérico de $r$ y producto escalar nulo con $\vec{v}$ ) siempre funciona.

En el área del triángulo no olvides el $\frac{1}{2}$ : el módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo.