Matemáticas IIFácil2,5 pts

Matrices

Extremadura · 2018 · Junio · Opción B

Enunciado

Considere las matrices

A = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

a) (1 punto) Calcule la matriz

C = -3A + B^2

.

b) (1,5 puntos) Halle la inversa

A^{-1}

de la matriz

A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ C = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 2 \\ -6 & -2 & -6 \\ -2 & 6 & -6 \end{pmatrix}}

\boxed{\text{b)}\ A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) hay que multiplicar

B

por sí misma (fila por columna) y después operar: multiplicar

A

por

-3

y sumar término a término.

En b) usamos la fórmula de la inversa por adjuntos,

A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj} A)^t

. Primero comprobamos que

|A| \neq 0

, que es la condición para que exista la inversa.

Desarrollo

a) Calculamos

B^2 = B\cdot B

B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 1 & 0 & 1 + 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 - 1 & 0 & -1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Por otro lado,

-3A = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 0 \\ -6 & -3 & -6 \\ 0 & 6 & -6 \end{pmatrix}

y sumando:

C = -3A + B^2 = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 2 \\ -6 & -2 & -6 \\ -2 & 6 & -6 \end{pmatrix}

b) Determinante de

A

, desarrollando por la primera fila:

|A| = -2\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} - (-2)\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 0 = -2\cdot 6 + 2\cdot 4 = -4 \neq 0

luego

A

es regular y tiene inversa. Adjuntos

A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} = 6, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -4, \quad A_{13} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = -4

A_{21} = -\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} = 4, \quad A_{22} = \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -4, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} -2 & -2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = -4

A_{31} = \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -4, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 4, \quad A_{33} = \begin{vmatrix} -2 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 2

Matriz adjunta y su traspuesta:

\operatorname{Adj} A = \begin{pmatrix} 6 & -4 & -4 \\ 4 & -4 & -4 \\ -4 & 4 & 2 \end{pmatrix}, \qquad (\operatorname{Adj} A)^t = \begin{pmatrix} 6 & 4 & -4 \\ -4 & -4 & 4 \\ -4 & -4 & 2 \end{pmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{-4}\begin{pmatrix} 6 & 4 & -4 \\ -4 & -4 & 4 \\ -4 & -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}

Comprobación. Multiplicamos

A

por la matriz obtenida:

A\,A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{3}{2} & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 2 & 2 - 2 & -2 + 2 \\ -3 + 1 + 2 & -2 + 1 + 2 & 2 - 1 - 1 \\ -2 + 2 & -2 + 2 & 2 - 1 \end{pmatrix} = I

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En la inversa por adjuntos hay dos despistes clásicos: olvidar el signo $(-1)^{i+j}$ de los adjuntos (el tablero de ajedrez $+\,-\,+$ ) y olvidar trasponer la adjunta antes de dividir por el determinante.

Comprueba siempre que $A\,A^{-1} = I$ : son nueve productos rápidos y detectan cualquier error de signo.