Límites y continuidad

a) Teorema de Bolzano. Si $f$ es una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y toma valores de signo distinto en sus extremos ($f(a)\cdot f(b) < 0$), entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$.

Aplicación. $f(x) = x^3 + x - 3$ es un polinomio, así que es continua en todo $\mathbb{R}$ y, en particular, en $[1, 2]$. En los extremos:$$f(1) = 1 + 1 - 3 = -1 < 0, \qquad f(2) = 8 + 2 - 3 = 7 > 0$$Se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano en $[1, 2]$, luego existe $c \in (1, 2)$ con $f(c) = 0$. Como $c > 1 > 0$, $f$ tiene una raíz real positiva.

(Valdría también $[0, 2]$, porque $f(0) = -3 < 0$; lo importante es que el intervalo esté en la parte positiva del eje. Numéricamente, la raíz es $c \approx 1{,}2134$. Además es la única raíz real, porque $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ y $f$ es estrictamente creciente, aunque el enunciado no lo pide).

b) Integramos por partes, $\int u\,dv = uv - \int v\,du$, con$$u = x + 1 \;\Rightarrow\; du = dx, \qquad dv = e^{-x}\,dx \;\Rightarrow\; v = -e^{-x}$$$$\int (x+1)e^{-x}\,dx = -(x+1)e^{-x} - \int \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx = -(x+1)e^{-x} + \int e^{-x}\,dx$$$$= -(x+1)e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+2)e^{-x} + C$$Imponemos $F(0) = 0$:$$F(0) = -(0 + 2)e^{0} + C = -2 + C = 0 \;\Longrightarrow\; C = 2$$$$F(x) = 2 - (x+2)e^{-x}$$Comprobación. Derivando con la regla del producto:$$F'(x) = -e^{-x} - (x+2)\cdot\bigl(-e^{-x}\bigr) = e^{-x}\bigl(-1 + x + 2\bigr) = (x+1)e^{-x} = f(x)$$La derivada es el integrando ✓ y $F(0) = 2 - 2 = 0$ ✓.