Rectas y planos

a) Ecuaciones paramétricas de $r$:$$r : \left\{\begin{array}{l} x = -1 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 1 + t \end{array}\right. \qquad t \in \mathbb{R}$$Sustituimos en $\Pi : y + z = 0$:$$(1 - 2t) + (1 + t) = 0 \;\Longrightarrow\; 2 - t = 0 \;\Longrightarrow\; t = 2$$Hay una única solución, así que la recta corta al plano en un punto (lo confirma que $\vec{v}_r\cdot\vec{n} = 0 - 2 + 1 = -1 \neq 0$: la recta no es paralela al plano). Con $t = 2$:$$Q = (-1 + 2,\ 1 - 4,\ 1 + 2) = (1,\ -3,\ 3)$$Comprobación. $Q \in \Pi$: $-3 + 3 = 0$ ✓. $Q \in r$: $\dfrac{1+1}{1} = \dfrac{-3-1}{-2} = \dfrac{3-1}{1} = 2$ ✓.

b) Sea $\vec{d}$ el vector director de $s$. Necesitamos $\vec{d}\perp\vec{n}$ y $\vec{d}\perp\vec{v}_r$; como $\vec{n}$ y $\vec{v}_r$ no son proporcionales, sirve (salvo un factor) su producto vectorial:$$\vec{d} = \vec{n}\times\vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = (1 + 2)\,\vec{i} - (0 - 1)\,\vec{j} + (0 - 1)\,\vec{k} = (3,\ 1,\ -1)$$Comprobamos: $\vec{d}\cdot\vec{n} = 0 + 1 - 1 = 0$ ✓ y $\vec{d}\cdot\vec{v}_r = 3 - 2 - 1 = 0$ ✓.

La recta que pasa por $P = (1, 0, 0)$ con dirección $(3, 1, -1)$:$$s : \frac{x - 1}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-1} \qquad\text{o bien}\qquad s : \left\{\begin{array}{l} x = 1 + 3\mu \\ y = \mu \\ z = -\mu \end{array}\right.$$Observación. El punto $P$ cumple $0 + 0 = 0$, es decir, está en el plano $\Pi$. Una recta paralela a $\Pi$ que pasa por un punto de $\Pi$ queda contenida en él: $s \subset \Pi$ (en efecto, $y + z = \mu - \mu = 0$ para todo $\mu$). Es lo que pide el enunciado entendiendo «paralela» como «con dirección paralela al plano».