Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ \lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ \lambda & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda & 1 \end{array}\right)$$Por la regla de Sarrus:$$|A| = 1\cdot 1\cdot\lambda + 2\cdot 1\cdot 1 + (-1)\cdot\lambda\cdot 1 - \bigl[(-1)\cdot 1\cdot 1 + 1\cdot 1\cdot 1 + 2\cdot\lambda\cdot\lambda\bigr]$$$$|A| = \lambda + 2 - \lambda - \bigl[-1 + 1 + 2\lambda^2\bigr] = 2 - 2\lambda^2 = -2(\lambda - 1)(\lambda + 1)$$$$|A| = 0 \iff \lambda = 1 \ \text{o}\ \lambda = -1$$Caso $\lambda \neq 1$ y $\lambda \neq -1$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $\lambda = 1$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$ y $|A| = 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 2$. En la ampliada, las filas segunda y tercera son iguales, de modo que cualquier menor de orden 3 de $A^*$ tiene dos filas iguales y vale 0: $\operatorname{rg}(A^*) = 2$. Como $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro).

Caso $\lambda = -1$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$ y $|A| = 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 2$. Orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(1 - 1) - 2\cdot(-1 - 1) + 0 = 4 \neq 0$$luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible. Se ve también a mano: la primera ecuación dice $x + 2y - z = 0$ y la tercera, $x + y - z = 1$; restando, $y = -1$, y entonces $x - z = 2$; pero la segunda, $-x + y + z = 1$, da $-(x - z) = 2$, es decir, $x - z = -2$. Contradicción.

b) Con $\lambda = 1$ el sistema es compatible indeterminado y la tercera ecuación repite la segunda. Nos quedamos con$$\left\{\begin{array}{l} x + 2y - z = 0 \\ x + y + z = 1 \end{array}\right.$$Tomamos $z = t$ como parámetro y restamos la segunda de la primera: $y - 2z = -1$, es decir, $y = -1 + 2t$. Llevándolo a la segunda:$$x = 1 - y - z = 1 - (-1 + 2t) - t = 2 - 3t$$Comprobación. Con $(2 - 3t,\ -1 + 2t,\ t)$: primera, $2 - 3t - 2 + 4t - t = 0$ ✓; segunda y tercera, $2 - 3t - 1 + 2t + t = 1$ ✓.