Matemáticas IIFácil1,5 pts

Probabilidad

Extremadura · 2018 · Julio · Opción B

Enunciado

Se estima que en una partida de bombillas el

10\ \%

son defectuosas. Si se eligen al azar 6 bombillas de esta partida, calcule:

a) (0,5 puntos) la probabilidad de que ninguna sea defectuosa.

b) (0,5 puntos) la probabilidad de obtener más de 2 defectuosas.

c) (0,5 puntos) la media y la desviación típica de la distribución.

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(X = 0) = 0{,}9^6 \approx 0{,}5314 \qquad \text{b)}\ P(X > 2) \approx 0{,}0159}

\boxed{\text{c)}\ \mu = 0{,}6;\quad \sigma = \sqrt{0{,}54} \approx 0{,}7348}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada bombilla es un ensayo con dos resultados (defectuosa o no), con la misma probabilidad de ser defectuosa,

p = 0{,}1

, e independiente de las demás (la partida es grande). El número de defectuosas entre 6 sigue, por tanto, una binomial

B(6;\ 0{,}1)

. En b) «más de 2» tiene cuatro casos (3, 4, 5 y 6), así que es más rápido ir por el complementario. La media y la desviación típica tienen fórmula:

\mu = np

\sigma = \sqrt{npq}

Desarrollo

Sea

X

= «número de bombillas defectuosas entre las 6 elegidas». Entonces

X \sim B(n = 6;\ p = 0{,}1), \qquad q = 1 - p = 0{,}9, \qquad P(X = k) = \binom{6}{k}\,0{,}1^k\,0{,}9^{6 - k}

P(X = 0) = \binom{6}{0}\,0{,}1^0\,0{,}9^6 = 0{,}9^6 = 0{,}531441 \approx 0{,}5314

b) Por el complementario,

P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - \bigl[P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\bigr]

, con

P(X = 1) = \binom{6}{1}\,0{,}1\cdot 0{,}9^5 = 6\cdot 0{,}1\cdot 0{,}59049 = 0{,}354294

P(X = 2) = \binom{6}{2}\,0{,}1^2\cdot 0{,}9^4 = 15\cdot 0{,}01\cdot 0{,}6561 = 0{,}098415

P(X \leq 2) = 0{,}531441 + 0{,}354294 + 0{,}098415 = 0{,}98415

P(X > 2) = 1 - 0{,}98415 = 0{,}01585 \approx 0{,}0159

c) Media y desviación típica de la binomial:

\mu = np = 6\cdot 0{,}1 = 0{,}6

\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{6\cdot 0{,}1\cdot 0{,}9} = \sqrt{0{,}54} = \frac{3\sqrt{6}}{10} \approx 0{,}7348

Comprobación de sentido. Con una media de

0{,}6

defectuosas por cada 6 bombillas, lo más probable es no encontrar ninguna (algo más de la mitad de las veces), y tener tres o más es raro: menos del

2\ \%

Consejo

Empieza siempre diciendo qué variable es binomial y con qué parámetros: $X \sim B(6;\ 0{,}1)$ . Es parte de la puntuación, aunque luego las cuentas estén bien.

«Más de 2» no incluye el 2: es $X \geq 3$ . Cuando el suceso tiene muchos casos, el complementario ( $1 - P(X \leq 2)$ ) ahorra cuentas y errores.