Matemáticas IIMedio2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Rectas y planos

Extremadura · 2018 · Julio · Opción B

Enunciado

Sean las rectas

r = \dfrac{x - 3}{3} = \dfrac{y - 5}{-1} = \dfrac{z - 2}{4}

s = \left\{\begin{array}{l} x - y - z = 2 \\ 2x + 2y - z = 4 \end{array}\right.

.

a) (1 punto) Estudie la posición relativa de dichas rectas.

b) (1,5 puntos) Halle la distancia entre ambas rectas.

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ r \text{ y } s \text{ son paralelas (no coincidentes)}}

\boxed{\text{b)}\ d(r, s) = \frac{2\sqrt{1209}}{13} = 2\sqrt{\frac{93}{13}} \approx 5{,}35\ \text{u}}

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Estrategia

Necesitamos un punto y un vector director de cada recta. De

r

se leen directamente en la forma continua;

s

viene como corte de dos planos, así que su vector director es el producto vectorial de los vectores normales y un punto se saca dando un valor a una incógnita.

Si los vectores directores son proporcionales, las rectas son paralelas o coincidentes, y se distingue mirando si un punto de una está en la otra. En el caso de rectas paralelas, la distancia entre ellas es la distancia de un punto cualquiera de una a la otra recta, que se calcula con el producto vectorial.

Desarrollo

a) Elementos de $r$ . De la forma continua:

P_r = (3, 5, 2), \qquad \vec{u}_r = (3, -1, 4)

Elementos de $s$ . Los vectores normales de los planos son

\vec{n}_1 = (1, -1, -1)

\vec{n}_2 = (2, 2, -1)

\vec{u}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}\,(1 + 2) - \vec{j}\,(-1 + 2) + \vec{k}\,(2 + 2) = (3, -1, 4)

Para un punto de

s

tomamos

z = 0

\left\{\begin{array}{l} x - y = 2 \\ 2x + 2y = 4 \end{array}\right. \ \Longrightarrow\ \left\{\begin{array}{l} x - y = 2 \\ x + y = 2 \end{array}\right. \ \Longrightarrow\ x = 2,\ y = 0

Q_s = (2, 0, 0)

Posición relativa. Los vectores directores son iguales,

\vec{u}_r = \vec{u}_s = (3, -1, 4)

: las rectas son paralelas o coincidentes. Miramos si

P_r = (3, 5, 2)

está en

s

: en el primer plano,

3 - 5 - 2 = -4 \neq 2

. No está, así que las rectas son paralelas (distintas).

(Con rangos: la matriz de los directores

\begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 3 & -1 & 4 \end{pmatrix}

tiene rango 1, y al añadir

\overrightarrow{Q_sP_r} = (1, 5, 2)

el rango pasa a 2, porque

\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 16 \neq 0

: paralelas.)

b) Al ser paralelas,

d(r, s) = d(P_r, s)

. Con el punto

Q_s

y el vector

\vec{u}_s

s

\overrightarrow{Q_sP_r} = (3 - 2,\ 5 - 0,\ 2 - 0) = (1, 5, 2)

\overrightarrow{Q_sP_r} \times \vec{u}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 5 & 2 \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}\,(20 + 2) - \vec{j}\,(4 - 6) + \vec{k}\,(-1 - 15) = (22, 2, -16)

\bigl|\overrightarrow{Q_sP_r} \times \vec{u}_s\bigr| = \sqrt{22^2 + 2^2 + 16^2} = \sqrt{484 + 4 + 256} = \sqrt{744} = 2\sqrt{186}, \qquad |\vec{u}_s| = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26}

d(r, s) = \frac{\bigl|\overrightarrow{Q_sP_r} \times \vec{u}_s\bigr|}{|\vec{u}_s|} = \frac{2\sqrt{186}}{\sqrt{26}} = 2\sqrt{\frac{93}{13}} = \frac{2\sqrt{1209}}{13} \approx 5{,}35 \ \text{u}

Comprobación.

Q_s = (2, 0, 0)

cumple las dos ecuaciones de

s

2 - 0 - 0 = 2

✓ y

4 + 0 - 0 = 4

✓. Y

(22, 2, -16)\cdot(3, -1, 4) = 66 - 2 - 64 = 0

: el producto vectorial es perpendicular a

\vec{u}_s

, como debe ser.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Si dos rectas son paralelas, la fórmula de la distancia entre rectas que se cruzan (con el producto mixto) no sirve: da cero en el numerador y en el denominador. Usa la distancia de un punto de una recta a la otra.

Antes de decir «paralelas», comprueba que un punto de una no está en la otra: si lo estuviera, serían la misma recta y la distancia sería cero.

Paso 1 de 3

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