Matemáticas IIFácil2,5 pts

Matrices

Extremadura · 2018 · Julio · Opción B

Enunciado

Considere las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

.

a) (1 punto) Calcule la matriz

X

tal que

X = A^2 + B^2 - 2AB

.

b) (1,5 puntos) Halle la inversa de la matriz

A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ X = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 0 & -4 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}}

\boxed{\text{b)}\ A^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & -1 & -2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) no hay nada que despejar: basta con calcular

A^2

B^2

AB

y operar. Ojo: como el producto de matrices no es conmutativo,

A^2 + B^2 - 2AB

no es

(A - B)^2

, así que no se puede abreviar con la identidad notable.

En b) comprobamos que

|A| \neq 0

(la matriz es regular) y aplicamos

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj} A)^t

; terminamos comprobando que

A\,A^{-1} = I

Desarrollo

a) Calculamos los tres productos (fila por columna):

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 6 & 2 & 8 \\ -2 & -3 & -1 \end{pmatrix}

B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}

AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 4 & 4 & 6 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Por tanto

X = A^2 + B^2 - 2AB = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 8 & 4 & 11 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 8 & 8 & 12 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 0 & -4 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

(Si se hubiera usado

(A - B)^2

saldría otra matriz, porque

(A - B)^2 = A^2 - AB - BA + B^2

y aquí

BA = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \neq AB

.)

b) Determinante por Sarrus:

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (2 + 0 - 2) - (0 - 2 + 0) = 0 + 2 = 2 \neq 0

luego

A

es regular y tiene inversa. Adjuntos

A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

A_{11} = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 4, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -2, \quad A_{13} = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -2

A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -1, \quad A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1

A_{31} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -2, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2

\operatorname{Adj} A = \begin{pmatrix} 4 & -2 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad (\operatorname{Adj} A)^t = \begin{pmatrix} 4 & -1 & -2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj} A)^t = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & -1 & -2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -\frac{1}{2} & -1 \\ -1 & \frac{1}{2} & 0 \\ -1 & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}

Comprobación.

A\,A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -\frac{1}{2} & -1 \\ -1 & \frac{1}{2} & 0 \\ -1 & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con matrices, $A^2 + B^2 - 2AB$ no es $(A - B)^2$ : el producto no es conmutativo y $(A - B)^2 = A^2 - AB - BA + B^2$ . Haz las cuentas tal cual las pide el enunciado.

En la inversa por adjuntos, el fallo típico es olvidar los signos $(-1)^{i+j}$ o la traspuesta. Comprobar $A\,A^{-1} = I$ cuesta un minuto y te dice si el resultado está bien.