Matemáticas IIMedio1,5 pts

Probabilidad

Extremadura · 2018 · Julio · Opción A

Enunciado

En un centro comercial el

35\ \%

de los clientes utiliza carro. El

70\ \%

de los que utilizan carro son hombres y el

40\ \%

de los que no utilizan carro son mujeres.

a) (0,75 puntos) Calcule la probabilidad de que un cliente elegido al azar sea mujer.

b) (0,75 puntos) Sabiendo que un cliente elegido al azar ha sido hombre, qué probabilidad hay de que utilice carro.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(M) = 0{,}365}

\boxed{\text{b)}\ P(C \mid H) = \dfrac{49}{127} \approx 0{,}3858}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los datos vienen en dos etapas: primero si el cliente usa carro o no, y después, dentro de cada grupo, si es hombre o mujer. Es el esquema de un diagrama de árbol. En a) sumamos las dos ramas que acaban en «mujer» (probabilidad total) y en b) nos dan el resultado de la segunda etapa y preguntan por la primera: es el teorema de Bayes.

Desarrollo

Sucesos.

C

= «el cliente utiliza carro»,

\overline{C}

= «no lo utiliza»,

H

= «es hombre»,

M

= «es mujer» (

M = \overline{H}

). Los datos son

P(C) = 0{,}35, \qquad P(\overline{C}) = 0{,}65, \qquad P(H \mid C) = 0{,}70, \qquad P(M \mid \overline{C}) = 0{,}40

y sus complementarios dentro de cada rama:

P(M \mid C) = 1 - 0{,}70 = 0{,}30, \qquad P(H \mid \overline{C}) = 1 - 0{,}40 = 0{,}60

Árbol.

$C$ $(0{,}35)$ : $H$ $(0{,}70)$ → $0{,}35\cdot 0{,}70 = 0{,}245$ ; $M$ $(0{,}30)$ → $0{,}35\cdot 0{,}30 = 0{,}105$ .
$\overline{C}$ $(0{,}65)$ : $H$ $(0{,}60)$ → $0{,}65\cdot 0{,}60 = 0{,}390$ ; $M$ $(0{,}40)$ → $0{,}65\cdot 0{,}40 = 0{,}260$ .

Las cuatro ramas suman

0{,}245 + 0{,}105 + 0{,}390 + 0{,}260 = 1

✓.

a) Por el teorema de la probabilidad total:

P(M) = P(C)\,P(M \mid C) + P(\overline{C})\,P(M \mid \overline{C}) = 0{,}35\cdot 0{,}30 + 0{,}65\cdot 0{,}40 = 0{,}105 + 0{,}26 = 0{,}365

b) Primero,

P(H) = 1 - P(M) = 1 - 0{,}365 = 0{,}635

(o, por las ramas,

0{,}245 + 0{,}390

). Por el teorema de Bayes:

P(C \mid H) = \frac{P(C)\,P(H \mid C)}{P(H)} = \frac{0{,}35\cdot 0{,}70}{0{,}635} = \frac{0{,}245}{0{,}635} = \frac{49}{127} \approx 0{,}3858

Comprobación de sentido. Entre los hombres hay algo más de proporción de usuarios de carro (

38{,}6\ \%

) que en el total de clientes (

35\ \%

), lo que encaja con que los usuarios de carro sean más a menudo hombres (

70\ \%

) que los que no lo usan (

60\ \%

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Lee con cuidado a quién se refiere cada porcentaje: el $40\ \%$ es de mujeres entre los que no usan carro, no de hombres. Pasa todos los datos a probabilidades condicionadas antes de dibujar el árbol y completa cada rama con su complementario.

En Bayes, el denominador es la probabilidad total del suceso que te dan como sabido ( $H$ ): si ya calculaste $P(M)$ en a), aprovéchala con $P(H) = 1 - P(M)$ .