Integrales

a) Continuidad. Para $x > 0$, $f(x) = x$, y para $x < 0$, $f(x) = -x$: son polinomios, continuos. En $x = 0$:$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0, \qquad \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0, \qquad f(0) = 0$$Los tres coinciden: $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$.

Derivabilidad. Fuera de $x = 0$:$$f'(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1 & \text{si } x > 0, \\ -1 & \text{si } x < 0. \end{array}\right.$$En $x = 0$ calculamos las derivadas laterales con la definición:$$f'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1, \qquad f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$$Como $-1 \neq 1$, $f$ no es derivable en $x = 0$ (la gráfica hace un pico). Es derivable en $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.

b) Monotonía.

• En $(-\infty, 0)$, $f'(x) = -1 < 0$: $f$ es decreciente.
• En $(0, +\infty)$, $f'(x) = 1 > 0$: $f$ es creciente.

Mínimo en $x = 0$. Aunque $f'(0)$ no existe, $f$ es continua en $0$ y pasa de decrecer a crecer, así que en $x = 0$ hay un mínimo relativo, de valor $f(0) = 0$. Se ve también sin derivadas: $f(x) = |x| \geq 0 = f(0)$ para todo $x$, así que de hecho es el mínimo absoluto.

c) Puntos de corte. Por trozos:

• $x \geq 0$: $x = 2 - x^2 \iff x^2 + x - 2 = 0 \iff x = 1$ o $x = -2$; solo vale $x = 1$.
• $x < 0$: $-x = 2 - x^2 \iff x^2 - x - 2 = 0 \iff x = 2$ o $x = -1$; solo vale $x = -1$.

Las gráficas se cortan en $(-1, 1)$ y $(1, 1)$.

Dibujo. $g(x) = 2 - x^2$ es una parábola hacia abajo con vértice en $(0, 2)$ que corta al eje $X$ en $\pm\sqrt{2}$; $f(x) = |x|$ es la «uve» formada por las bisectrices, con vértice en el origen. El recinto es la región entre la uve (abajo) y la parábola (arriba) para $-1 \leq x \leq 1$: tiene forma de cucurucho invertido, con el pico abajo en $(0, 0)$ y el techo curvo que llega a $(0, 2)$. En $x = 0$, $g(0) = 2 > 0 = f(0)$, así que $g$ va por encima en todo $[-1, 1]$.

Área. Las dos funciones son pares ($f(-x) = f(x)$, $g(-x) = g(x)$), así que el recinto es simétrico respecto del eje $Y$ y basta con el doble de la mitad derecha, donde $|x| = x$:$$\text{Área} = 2\int_0^1 \bigl[(2 - x^2) - x\bigr]\,dx = 2\left[2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 2\left(2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) = 2\cdot\frac{7}{6} = \frac{7}{3}$$Comprobación. Sin usar la simetría: $\int_{-1}^{0} (2 - x^2 + x)\,dx = \left[2x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} = -\left(-2 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) = \frac{7}{6}$, igual que la mitad derecha ✓.