Matemáticas IIMedio2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Extremadura · 2018 · Julio · Opción A

Enunciado

Sean los puntos

A = (2, 0, 1)

B = (2, 0, 3)

y la recta

r

dada por el punto

C = (1, 0, 2)

y el vector

\vec{v} = (-1, 0, 0)

. Determine los puntos

P

de la recta

r

para los cuales el área del triángulo

\widehat{ABP}

es 2.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{P_1 = (0, 0, 2) \quad\text{y}\quad P_2 = (4, 0, 2)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Escribimos un punto genérico de

r

con un parámetro

\lambda

. El área del triángulo de vértices

A

B

P

es la mitad del módulo del producto vectorial

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP}

, que dependerá de

\lambda

. Igualamos esa área a 2 y resolvemos la ecuación, que lleva un valor absoluto y por eso da dos puntos.

Desarrollo

Punto genérico de $r$ . Con el punto

C = (1, 0, 2)

y el vector

\vec{v} = (-1, 0, 0)

r:\ (x, y, z) = (1, 0, 2) + \lambda(-1, 0, 0) \ \Longrightarrow\ P_\lambda = (1 - \lambda,\ 0,\ 2)

Vectores con origen en $A$ .

\overrightarrow{AB} = (2 - 2,\ 0 - 0,\ 3 - 1) = (0, 0, 2), \qquad \overrightarrow{AP_\lambda} = (1 - \lambda - 2,\ 0,\ 2 - 1) = (-1 - \lambda,\ 0,\ 1)

Producto vectorial.

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP_\lambda} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 0 & 2 \\ -1 - \lambda & 0 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}\,(0 - 0) - \vec{j}\,\bigl(0 - 2(-1 - \lambda)\bigr) + \vec{k}\,(0 - 0) = (0,\ -2 - 2\lambda,\ 0)

Área.

\text{Área} = \frac{1}{2}\,\bigl|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP_\lambda}\bigr| = \frac{1}{2}\sqrt{0 + (2 + 2\lambda)^2 + 0} = \frac{1}{2}\cdot 2\,|1 + \lambda| = |1 + \lambda|

Imponemos que valga 2:

|1 + \lambda| = 2 \iff 1 + \lambda = 2 \ \text{o}\ 1 + \lambda = -2 \iff \lambda = 1 \ \text{o}\ \lambda = -3

$\lambda = 1$ : $P_1 = (1 - 1,\ 0,\ 2) = (0, 0, 2)$ .
$\lambda = -3$ : $P_2 = (1 + 3,\ 0,\ 2) = (4, 0, 2)$ .

Comprobación geométrica. Los tres puntos están en el plano

y = 0

. La base

AB

está sobre la recta

x = 2

(de ese plano) y mide

|\overrightarrow{AB}| = 2

; la altura es la distancia de

P

a esa recta,

|x_P - 2|

. Para

P_1

P_2

esa distancia es

2

, así que el área es

\frac{2\cdot 2}{2} = 2

✓. Como

r

va en la dirección del eje

X

, perpendicular a

AB

, corta a la recta

x = 2

y hay justo un punto a cada lado a distancia 2.

Consejo

El área de un triángulo en el espacio sale siempre de $\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP}|$ : no intentes calcular la altura a mano salvo que la figura sea tan sencilla como aquí.

Al igualar el área, la ecuación lleva un valor absoluto (o una raíz de un cuadrado): no te quedes con una sola solución. Lo normal es que haya dos puntos, uno a cada lado.