Matrices

a) Calculamos el determinante por Sarrus:$$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ a & 0 & a \\ -2 & a & 0 \end{vmatrix} = \bigl(0 + 1\cdot a\cdot(-2) + 1\cdot a\cdot a\bigr) - \bigl(1\cdot 0\cdot(-2) + 0\cdot a\cdot a + 1\cdot a\cdot 0\bigr) = a^2 - 2a$$$$|A| = a(a - 2) = 0 \iff a = 0 \ \text{o}\ a = 2$$Caso $a \neq 0$ y $a \neq 2$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 3$.

Caso $a = 0$.$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$Tiene una fila de ceros, así que su rango no pasa de 2, y el menor formado por las filas 1 y 3 y las columnas 1 y 2 no se anula:$$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 0 + 2 = 2 \neq 0 \ \Longrightarrow\ \operatorname{rg}(A) = 2$$Caso $a = 2$.$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$$|A| = 0$ y el menor de las filas 1 y 2 y las columnas 1 y 2 vale$$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2 \neq 0 \ \Longrightarrow\ \operatorname{rg}(A) = 2$$(Se ve también que la tercera fila es la primera por 2 menos la segunda: $2\cdot(0, 1, 1) - (2, 0, 2) = (-2, 2, 0)$.)

b) Con $a = 1$, $|A| = 1\cdot(1 - 2) = -1 \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*)$ = número de incógnitas: por Rouché-Frobenius hay solución única. La ecuación matricial es el sistema$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \iff \left\{\begin{array}{l} y + z = 1 \\ x + z = 1 \\ -2x + y = 1 \end{array}\right.$$De la segunda, $x = 1 - z$; de la tercera, $y = 1 + 2x = 1 + 2(1 - z) = 3 - 2z$. Sustituyendo en la primera:$$(3 - 2z) + z = 1 \ \Longrightarrow\ 3 - z = 1 \ \Longrightarrow\ z = 2$$y entonces $x = 1 - 2 = -1$ e $y = 3 - 4 = -1$.

Comprobación. $(x, y, z) = (-1, -1, 2)$: primera, $-1 + 2 = 1$ ✓; segunda, $-1 + 2 = 1$ ✓; tercera, $2 - 1 = 1$ ✓.