Matemáticas IIFácil2 pts

Límites y continuidad

También trata: Integrales

Castilla y León · 2018 · Junio · Opción B

Enunciado

a) (1 punto) Calcular

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{x} - \cos x}{\ln(1 + x)}

.

b) (1 punto) Calcular

\displaystyle\int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \lim_{x\to 0}\frac{e^{x} - \cos x}{\ln(1 + x)} = 1}

\boxed{\text{b)}\ \int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^3}{3} + C}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) al sustituir sale

\frac{0}{0}

; numerador y denominador son derivables cerca de

0

, así que aplicamos la regla de L'Hôpital y volvemos a sustituir.

En b) el factor

\frac{1}{x}

es justo la derivada de

\ln x

: la integral es del tipo

\int u^2\,u'\,dx

, que es casi inmediata (o, si se prefiere, el cambio de variable

t = \ln x

Desarrollo

a) Al sustituir

x = 0

: el numerador vale

e^0 - \cos 0 = 1 - 1 = 0

y el denominador

\ln 1 = 0

. Indeterminación

\frac{0}{0}

. Las dos funciones son derivables en un entorno de

0

y la derivada del denominador,

\frac{1}{1 + x}

, no se anula cerca de

0

, así que por L'Hôpital:

\lim_{x\to 0}\frac{e^{x} - \cos x}{\ln(1 + x)} = \lim_{x\to 0}\frac{e^{x} + \sin x}{\dfrac{1}{1 + x}} = \lim_{x\to 0}\,(1 + x)\left(e^{x} + \sin x\right) = 1\cdot(1 + 0) = 1

Comprobación con infinitésimos. Cerca de

0

e^x \approx 1 + x

\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}

\ln(1 + x) \approx x

, luego el cociente se comporta como

\dfrac{x + \frac{x^2}{2}}{x} \to 1

✓.

b) Hacemos el cambio

t = \ln x

, con

dt = \dfrac{1}{x}\,dx

(para

x > 0

, que es donde está definido el integrando):

\int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx = \int t^2\,dt = \frac{t^3}{3} + C = \frac{(\ln x)^3}{3} + C

Comprobación derivando:

\left(\frac{(\ln x)^3}{3}\right)' = \frac{3(\ln x)^2}{3}\cdot\frac{1}{x} = \frac{(\ln x)^2}{x} \ ✓

Consejo

Antes de aplicar L'Hôpital escribe que sale $\frac{0}{0}$ : sin comprobar la indeterminación el corrector no da por buena la regla. Y deriva numerador y denominador por separado, no el cociente.

En b) busca siempre si un factor es la derivada de otro: $\frac{1}{x}$ al lado de $\ln x$ es la pista. No olvides la constante $C$ en una integral indefinida.