Derivadas y aplicaciones

Dominio. $x$ y $e^{-x}$ están definidas y son continuas en todo $\mathbb{R}$:$$\operatorname{Dom} f = \mathbb{R}$$Asíntotas.

• Verticales: no hay, porque $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$.
• En $+\infty$: es una indeterminación $\infty\cdot 0$; la escribimos como cociente y aplicamos L'Hôpital ($\frac{\infty}{\infty}$):

$$\lim_{x\to+\infty} xe^{-x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^{x}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{e^{x}} = 0$$luego $y = 0$ es asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$. Como $f(x) > 0$ para $x > 0$, la gráfica se acerca a ella por encima.

• En $-\infty$: $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} xe^{-x} = (-\infty)\cdot(+\infty) = -\infty$, así que no hay asíntota horizontal por la izquierda. Tampoco oblicua, porque

$$\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to-\infty} e^{-x} = +\infty$$Monotonía y extremos. Por la regla del producto:$$f'(x) = e^{-x} + x\cdot(-e^{-x}) = (1 - x)\,e^{-x}$$Como $e^{-x} > 0$, el signo de $f'$ es el de $1 - x$, que se anula en $x = 1$:$$\begin{array}{c|c|c} x & (-\infty,\ 1) & (1,\ +\infty) \\ \hline f'(x) & + & - \\ \hline f & \nearrow & \searrow \end{array}$$$f$ es creciente en $(-\infty, 1)$ y decreciente en $(1, +\infty)$, con un máximo relativo (que además es absoluto) en$$\left(1,\ \frac{1}{e}\right) \approx (1;\ 0{,}368)$$No hay mínimos relativos.

Curvatura y puntos de inflexión.$$f''(x) = -e^{-x} + (1 - x)(-e^{-x}) = (x - 2)\,e^{-x}$$El signo es el de $x - 2$, que se anula en $x = 2$:$$\begin{array}{c|c|c} x & (-\infty,\ 2) & (2,\ +\infty) \\ \hline f''(x) & - & + \\ \hline f & \text{cóncava } (\cap) & \text{convexa } (\cup) \end{array}$$Con el convenio $f'' > 0$ convexa ($\cup$) y $f'' < 0$ cóncava ($\cap$): $f$ es cóncava en $(-\infty, 2)$ y convexa en $(2, +\infty)$. En $x = 2$ cambia la curvatura: punto de inflexión en$$\left(2,\ \frac{2}{e^{2}}\right) \approx (2;\ 0{,}271)$$Esbozo de la gráfica. Algunos datos más: $f(0) = 0$ (el único corte con los ejes es el origen), $f(x) < 0$ para $x < 0$ y $f(x) > 0$ para $x > 0$. La gráfica viene desde $-\infty$ por la izquierda, por debajo del eje $OX$, creciente y cóncava (muy empinada a la izquierda, con la pendiente disminuyendo según avanza), pasa por el origen con pendiente $f'(0) = 1$, sube hasta el máximo $\left(1, \frac1e\right)$, baja, cambia de curvatura en $\left(2, \frac{2}{e^2}\right)$ y se pega por encima a la asíntota $y = 0$ cuando $x \to +\infty$, sin llegar a tocarla.