Áreas, volúmenes y distancias

De la ecuación continua $\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y + 1}{2} = \dfrac{z - 1}{1}$:$$P_r = (1,\ -1,\ 1), \qquad \vec{u}_r = (1,\ 2,\ 1)$$y el vector normal del plano es $\vec{n} = (1,\ -1,\ 1)$.

a)$$\vec{u}_r \cdot \vec{n} = 1 - 2 + 1 = 0$$así que $\vec{u}_r \perp \vec{n}$: la recta es paralela al plano o está contenida en él. Sustituimos $P_r$ en $\pi$:$$1 - (-1) + 1 = 3 \neq 0 \;\Longrightarrow\; P_r \notin \pi$$Por tanto, $r$ es paralela a $\pi$ (no tienen puntos comunes).

b) Como $r \parallel \pi$, la distancia de $r$ a $\pi$ es la de cualquier punto de $r$, por ejemplo $P_r$:$$d(r, \pi) = d(P_r, \pi) = \frac{|1 + 1 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$Un plano paralelo a $\pi$ tiene ecuación $\pi' \equiv x - y + z + D = 0$, y $r$ también es paralela a él (mismo vector normal). Imponemos $d(P_r, \pi') = \sqrt 3$:$$\frac{|1 + 1 + 1 + D|}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \;\Longrightarrow\; |3 + D| = 3 \;\Longrightarrow\; D = 0 \ \ \text{o}\ \ D = -6$$$D = 0$ es el propio $\pi$; el plano pedido es el otro:$$\pi' \equiv x - y + z - 6 = 0$$Comprobación. Al sustituir $P_r$, $\pi$ da $3$ y $\pi'$ da $3 - 6 = -3$: valores opuestos, así que $r$ queda justo en medio de los dos planos, a distancia $\sqrt 3$ de cada uno. La distancia entre $\pi$ y $\pi'$ es $\dfrac{|0 - (-6)|}{\sqrt 3} = 2\sqrt 3$, el doble ✓.