Dadas las matrices A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} y M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ a & b \end{pmatrix}, calcúlense a y b para que se verifiquen |MA| = 2 y |M + B| = 3, donde se está usando la notación habitual (con barras verticales) para denotar al determinante de una matriz.

Matemáticas IIFácil2 pts

Determinantes

Castilla y León · 2018 · Junio · Opción B

Enunciado

Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ a & b \end{pmatrix}

, calcúlense

a

b

para que se verifiquen

|MA| = 2

|M + B| = 3

, donde se está usando la notación habitual (con barras verticales) para denotar al determinante de una matriz.

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Resultado

\boxed{\;a = -2, \qquad b = 0\;}

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Estrategia

Cada condición da una ecuación en

a

b

. Para la primera no hace falta multiplicar: el determinante de un producto es el producto de los determinantes,

|MA| = |M|\cdot|A|

. Para la segunda sumamos las matrices y calculamos el determinante. Queda un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Desarrollo

Primera condición. Como

|MA| = |M|\cdot|A|

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 5 - 4 = 1, \qquad |M| = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ a & b \end{vmatrix} = b - a

la condición

|MA| = 2

queda

(b - a)\cdot 1 = 2 \;\Longrightarrow\; b - a = 2

Segunda condición.

M + B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ a + 1 & b + 1 \end{pmatrix}, \qquad |M + B| = 2(b + 1) - (a + 1) = 2b - a + 1

|M + B| = 3 \;\Longrightarrow\; 2b - a = 2

Sistema.

\left\{\begin{array}{l} -a + b = 2 \\ -a + 2b = 2 \end{array}\right.

Restando la primera ecuación a la segunda,

b = 0

, y entonces

a = b - 2 = -2

.

Comprobación. Con

a = -2

b = 0

MA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}, \qquad |MA| = -12 + 14 = 2 \ ✓

M + B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad |M + B| = 2 + 1 = 3 \ ✓

Consejo

Usa $|MA| = |M|\cdot|A|$ : te ahorra el producto y los errores que trae. Pero cuidado, que esa propiedad no vale para la suma: $|M + B| \neq |M| + |B|$ en general, así que la segunda condición exige sumar primero las matrices y calcular después el determinante.