Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Castilla y León · 2018 · Junio · Opción A

Enunciado

a) (1 punto) Se tira una moneda tres veces. Calcular la probabilidad de que, sin tener en cuenta el orden, salgan una cara y dos cruces.

b) (1 punto) Una persona elige al azar, sin verlas, dos cartas de una baraja española (de 40 cartas, de las cuales 10 son de cada uno de los 4 palos: oros, copas, espadas y bastos). Calcular la probabilidad de que ninguna de las dos cartas elegidas sea de copas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ P = \frac{3}{8} = 0{,}375}

\boxed{\text{b)}\ P = \frac{30}{40}\cdot\frac{29}{39} = \frac{29}{52} \approx 0{,}5577}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) los

2^3 = 8

resultados de tres lanzamientos son equiprobables; basta contar en cuántos hay exactamente una cara (la cara puede salir en el primer, el segundo o el tercer lanzamiento). Es una binomial

B(3;\ 0{,}5)

con

k = 1

.

En b) las dos cartas se sacan sin reemplazamiento: la probabilidad de la segunda depende de la primera. Multiplicamos la probabilidad de que la primera no sea de copas por la de que la segunda tampoco lo sea sabiendo que la primera no lo fue (o, lo que es lo mismo, contamos con combinaciones).

Desarrollo

a) El espacio muestral tiene

2^3 = 8

resultados igualmente probables:

E = \{CCC,\ CCX,\ CXC,\ XCC,\ CXX,\ XCX,\ XXC,\ XXX\}

(con

C

= cara y

X

= cruz). Los que tienen una cara y dos cruces son

CXX

XCX

XXC

: tres casos favorables. Por la regla de Laplace,

P(\text{una cara y dos cruces}) = \frac{3}{8} = 0{,}375

Equivalentemente, si

N

= «número de caras»,

N \sim B(3;\ 0{,}5)

P(N = 1) = \binom{3}{1}(0{,}5)^1(0{,}5)^2 = 3\cdot\frac{1}{8} = \frac{3}{8}

b) Hay

40 - 10 = 30

cartas que no son de copas. Llamamos

N_1

N_2

a «la primera (segunda) carta no es de copas». Sin reemplazamiento:

P(N_1 \cap N_2) = P(N_1)\cdot P(N_2 \mid N_1) = \frac{30}{40}\cdot\frac{29}{39} = \frac{870}{1560} = \frac{29}{52} \approx 0{,}5577

Comprobación con combinaciones. Elegir 2 cartas de 40 se puede hacer de

\binom{40}{2} = 780

formas, y elegirlas entre las 30 que no son de copas, de

\binom{30}{2} = 435

P = \frac{435}{780} = \frac{29}{52} \ ✓

Consejo

En a) el error típico es contar «una cara y dos cruces» como un solo caso de cuatro posibles (0, 1, 2 o 3 caras): esos cuatro no son equiprobables. Escribe los 8 resultados o usa la binomial con su coeficiente $\binom{3}{1} = 3$ .

En b) las cartas no se devuelven: la segunda fracción es $\frac{29}{39}$ , no $\frac{30}{40}$ .