Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

Castilla y León · 2018 · Junio · Opción A
Enunciado
Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x)=xcos⁡xf(x) = x\cos x y el eje de las xx, cuando xx pertenece al intervalo [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right].
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Resultado
  Aˊrea=∫0π/2xcos⁡x dx=π2−1≈0,5708 u2  \boxed{\;\text{Área} = \int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx = \frac{\pi}{2} - 1 \approx 0{,}5708\ \text{u}^2\;}
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Estrategia

Antes de integrar hay que saber el signo de ff en el intervalo: si cambiara, habría que partir la integral. Aquí x≥0x \ge 0 y cos⁡x≥0\cos x \ge 0 en [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right], así que f≥0f \ge 0 y el área es directamente la integral definida.

La primitiva de xcos⁡xx\cos x es el ejemplo típico de integración por partes (el polinomio se deriva y el coseno se integra); después, regla de Barrow.
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Desarrollo

Signo de ff. En [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] se tiene x≥0x \ge 0 y cos⁡x≥0\cos x \ge 0, luego f(x)=xcos⁡x≥0f(x) = x\cos x \ge 0. Solo se anula en los extremos (x=0x = 0 y x=π2x = \frac{\pi}{2}), así que el recinto queda entero por encima del eje OXOX:Aˊrea=∫0π/2xcos⁡x dx\text{Área} = \int_0^{\pi/2} x\cos x\, dxPrimitiva por partes. Tomamosu=x  ⇒  du=dx,dv=cos⁡x dx  ⇒  v=sin⁡xu = x \;\Rightarrow\; du = dx, \qquad dv = \cos x\, dx \;\Rightarrow\; v = \sin x∫xcos⁡x dx=xsin⁡x−∫sin⁡x dx=xsin⁡x+cos⁡x+C\int x\cos x\, dx = x\sin x - \int \sin x\, dx = x\sin x + \cos x + CComprobación derivando: (xsin⁡x+cos⁡x)′=sin⁡x+xcos⁡x−sin⁡x=xcos⁡x(x\sin x + \cos x)' = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x ✓.

Regla de Barrow. ff es continua en [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right]:∫0π/2xcos⁡x dx=[xsin⁡x+cos⁡x]0π/2=(π2⋅1+0)−(0+1)=π2−1\int_0^{\pi/2} x\cos x\, dx = \Bigl[x\sin x + \cos x\Bigr]_0^{\pi/2} = \left(\frac{\pi}{2}\cdot 1 + 0\right) - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1Aˊrea=π2−1≈0,5708 u2\text{Área} = \frac{\pi}{2} - 1 \approx 0{,}5708 \ \text{u}^2Comprobación de sentido. El máximo de xcos⁡xx\cos x en el intervalo es algo menor que 0,60{,}6 (en x≈0,86x \approx 0{,}86) y la base mide π2≈1,57\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57: un área algo mayor que 0,50{,}5 es razonable.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

En las integrales por partes con un polinomio y una función trigonométrica o exponencial, elige uu = polinomio: al derivarlo baja de grado. Si lo haces al revés, la integral se complica.

Y no olvides justificar el signo de ff en el intervalo antes de igualar el área a la integral: es parte de la puntuación.
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