Matemáticas IIMedio2 pts

Derivadas y aplicaciones

Castilla y León · 2018 · Junio · Opción A

Enunciado

Dada la función

f(x) = 3x^4 + x^3 - 1

, determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos y el número total de puntos en los que

f(x)

se anula.

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Resultado

\boxed{\;\text{Decreciente en } \left(-\infty, -\tfrac14\right);\ \text{creciente en } \left(-\tfrac14, +\infty\right)\;}

\boxed{\;\text{Mínimo relativo en } \left(-\tfrac14,\ -\tfrac{257}{256}\right);\ \text{sin máximos; } f \text{ se anula en } 2 \text{ puntos}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La monotonía y los extremos salen del signo de la derivada: factorizamos

f'

, buscamos sus ceros y estudiamos el signo en cada intervalo (ojo con un cero doble, donde la derivada no cambia de signo).

Para contar los ceros de

f

no hace falta resolver la ecuación de cuarto grado: en cada intervalo de monotonía la función es inyectiva, así que tiene como mucho un cero; y el teorema de Bolzano dice en cuáles hay exactamente uno.

Desarrollo

f

es un polinomio: continua y derivable en todo

\mathbb{R}

.

Monotonía y extremos.

f'(x) = 12x^3 + 3x^2 = 3x^2(4x + 1)

f'(x) = 0 \iff x = 0 \ \text{(doble)} \quad\text{o}\quad x = -\frac{1}{4}

Como

3x^2 \ge 0

, el signo de

f'

lo decide

4x + 1

(salvo en

x = 0

, donde vale

0

\begin{array}{c|c|c|c} x & \left(-\infty,\ -\tfrac14\right) & \left(-\tfrac14,\ 0\right) & (0,\ +\infty) \\ \hline 3x^2 & + & + & + \\ \hline 4x + 1 & - & + & + \\ \hline f'(x) & - & + & + \\ \hline f & \searrow & \nearrow & \nearrow \end{array}

$f$ es decreciente en $\left(-\infty, -\tfrac14\right)$ y creciente en $\left(-\tfrac14, +\infty\right)$ .
En $x = -\tfrac14$ la derivada pasa de negativa a positiva: mínimo relativo, con

f\left(-\tfrac14\right) = \frac{3}{256} - \frac{1}{64} - 1 = \frac{3 - 4 - 256}{256} = -\frac{257}{256} \approx -1{,}004

En $x = 0$ la derivada se anula pero no cambia de signo (es positiva a los dos lados): no hay extremo, sino un punto de tangente horizontal en $(0, -1)$ .

No hay máximos relativos.

Número de ceros.

En $\left(-\infty, -\tfrac14\right]$ , $f$ es estrictamente decreciente, así que tiene a lo sumo un cero. Además $f(-1) = 3 - 1 - 1 = 1 > 0$ y $f\left(-\tfrac14\right) = -\tfrac{257}{256} < 0$ ; como $f$ es continua en $\left[-1, -\tfrac14\right]$ , el teorema de Bolzano da un cero en $\left(-1, -\tfrac14\right)$ .
En $\left[-\tfrac14, +\infty\right)$ , $f$ es estrictamente creciente, así que tiene a lo sumo un cero. Como $f(0) = -1 < 0$ y $f(1) = 3 + 1 - 1 = 3 > 0$ , Bolzano da un cero en $(0, 1)$ .

Por tanto

f

se anula en exactamente dos puntos (numéricamente,

x \approx -0{,}859

x \approx 0{,}688

).

Comprobación de sentido.

f(x) \to +\infty

cuando

x \to \pm\infty

(manda

3x^4

) y su único mínimo,

-\tfrac{257}{256}

, es negativo: la gráfica baja desde

+\infty

, cruza el eje, toca fondo bajo él y vuelve a subir cruzándolo otra vez. Dos cortes.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Un cero doble de $f'$ no es un extremo: en $x = 0$ la derivada vale $0$ pero no cambia de signo. Haz siempre la tabla de signos y no des por extremo cualquier punto con $f' = 0$ .

Para contar raíces no intentes resolver la ecuación de grado 4: combina monotonía (como mucho un cero por tramo) con Bolzano (al menos uno), y escribe las hipótesis del teorema.