Áreas, volúmenes y distancias

De la ecuación continua $\dfrac{x + 2}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z - 2}{1}$ leemos un punto y un vector director de $r$:$$P_r = (-2,\ 0,\ 2), \qquad \vec{u}_r = (1,\ 1,\ 1)$$El vector normal del plano es $\vec{n} = (1,\ 0,\ -1)$.

Posición relativa.$$\vec{u}_r \cdot \vec{n} = 1 + 0 - 1 = 0$$así que $r$ es paralela a $\pi$ o está contenida en él. Sustituimos $P_r$ en el plano: $-2 - 2 + 2 = -2 \neq 0$, luego $P_r \notin \pi$ y $r$ es paralela a $\pi$. Su simétrica $s$ será también paralela a $r$, con el mismo vector director $(1, 1, 1)$.

Simétrico de $P_r$. Recta perpendicular a $\pi$ por $P_r$:$$\ell \equiv (x,\ y,\ z) = (-2 + t,\ 0,\ 2 - t)$$La cortamos con $\pi$:$$(-2 + t) - (2 - t) + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; 2t - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; t = 1$$El punto medio es $M = (-1,\ 0,\ 1)$, y el simétrico:$$P' = 2M - P_r = (-2 + 2,\ 0 - 0,\ 2 - 2) = (0,\ 0,\ 0)$$Recta simétrica. Pasa por el origen con dirección $(1, 1, 1)$:$$s \equiv x = y = z \qquad\text{o, en paramétricas,}\qquad s \equiv (x,\ y,\ z) = (\mu,\ \mu,\ \mu),\ \mu \in \mathbb{R}$$Comprobación. $M$ está en el plano: $-1 - 1 + 2 = 0$ ✓, y $\overrightarrow{P_rP'} = (2, 0, -2)$ es proporcional a $\vec{n}$ ✓. Además, $r$ y $s$ deben estar a la misma distancia de $\pi$:$$d(r, \pi) = \frac{|-2 - 2 + 2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt 2} = \sqrt{2}, \qquad d(s, \pi) = \frac{|0 - 0 + 2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ ✓$$y a lados opuestos (al sustituir, $P_r$ da $-2$ y el origen da $+2$).