Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \lambda & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$Desarrollamos $|A|$ por la primera fila (el segundo elemento es $0$):$$|A| = \lambda\begin{vmatrix} 1 & \lambda \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = \lambda(1 + \lambda) + (-1 - 1) = \lambda^2 + \lambda - 2 = (\lambda - 1)(\lambda + 2)$$$$|A| = 0 \iff \lambda = 1 \ \text{o}\ \lambda = -2$$Caso $\lambda \neq 1$ y $\lambda \neq -2$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $\lambda = -2$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$ y $|A| = 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 2$. Orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = -2\,(1 + 1) - 0 + 1\,(-1 - 1) = -4 - 2 = -6 \neq 0$$Luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible.

Caso $\lambda = 1$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ y $|A| = 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 2$. La columna de términos independientes es igual a la tercera columna de $A$, de modo que cualquier menor de orden 3 de $A^*$ o es $|A|$ o tiene dos columnas iguales: todos valen $0$. Por tanto $\operatorname{rg}(A^*) = 2 = \operatorname{rg}(A) < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro).

b) Con $\lambda = 1$ el sistema es$$\left\{\begin{array}{l} x + z = 1 \\ x + y + z = 1 \\ x - y + z = 1 \end{array}\right.$$Como el rango es 2, nos quedamos con las dos primeras ecuaciones (las del menor no nulo). Restando la primera a la segunda, $y = 0$. Tomando $z = t$ como parámetro, la primera da $x = 1 - t$:$$(x,\ y,\ z) = (1 - t,\ 0,\ t), \qquad t \in \mathbb{R}$$Comprobación. Primera: $(1 - t) + t = 1$ ✓; segunda: $(1 - t) + 0 + t = 1$ ✓; tercera: $(1 - t) - 0 + t = 1$ ✓. Geométricamente son tres planos que se cortan en la recta que pasa por $(1, 0, 0)$ con dirección $(-1, 0, 1)$.