Matemáticas IIFácil2 pts

Distribución normal

Castilla y León · 2018 · Julio · Opción B

Enunciado

El diámetro del interior de un anillo se distribuye normalmente con una media de 10 cm y una desviación típica de 0,03.

a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que un anillo tenga un diámetro mayor de 10,075?

b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que un anillo tenga un diámetro entre 9,97 y 10,03?

(Se adjunta la tabla de la normal)

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(X > 10{,}075) = 0{,}0062}

\boxed{\text{b)}\ P(9{,}97 < X < 10{,}03) = 0{,}6826}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Llamamos

X

al diámetro interior,

X \sim N(10;\ 0{,}03)

. En los dos apartados tipificamos con

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

y buscamos en la tabla de la

N(0, 1)

, que da

P(Z \le z)

para

z \ge 0

. La cola de la derecha se obtiene con el complementario y los valores negativos, con la simetría de la normal. En b) el intervalo es simétrico: va de una desviación típica por debajo de la media a una por encima.

Desarrollo

Sea

X

= «diámetro interior de un anillo, en cm», con

X \sim N(\mu = 10;\ \sigma = 0{,}03)

, y

Z \sim N(0, 1)

.

a) Tipificamos:

z = \frac{10{,}075 - 10}{0{,}03} = \frac{0{,}075}{0{,}03} = 2{,}5

P(X > 10{,}075) = P(Z > 2{,}5) = 1 - P(Z \le 2{,}5) = 1 - 0{,}9938 = 0{,}0062

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Tipificamos los dos extremos:

z_1 = \frac{9{,}97 - 10}{0{,}03} = -1, \qquad z_2 = \frac{10{,}03 - 10}{0{,}03} = 1

P(9{,}97 < X < 10{,}03) = P(-1 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -1)

Por la simetría de la normal,

P(Z < -1) = 1 - P(Z \le 1)

, así que

P(-1 < Z < 1) = 2P(Z \le 1) - 1 = 2\cdot 0{,}8413 - 1 = 0{,}6826

Comprobación de sentido. En a), 10,075 está a dos desviaciones típicas y media por encima de la media: una probabilidad muy pequeña (algo más del 0,6 %) es razonable. En b) es el conocido «68 % de los datos a menos de una desviación típica de la media».

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Consejo

La tabla da $P(Z \le z)$ : para «mayor que» hay que restar de 1. Leer $0{,}9938$ como respuesta de a) es el error más común; piensa si el resultado tiene sentido (¿un diámetro tan grande es lo habitual?).

En b), con un intervalo simétrico, la fórmula $P(-a < Z < a) = 2P(Z \le a) - 1$ ahorra pasos, pero escribe la simetría $P(Z < -1) = 1 - P(Z \le 1)$ para justificarla.

Paso 1 de 3

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