Matemáticas IIMedio2 pts

Integrales

También trata: Límites y continuidad

Castilla y León · 2018 · Julio · Opción B

Enunciado

a) (1 punto) Calcular

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3e^x - \operatorname{sen} x}{e^x + x}

.

b) (1 punto) Encontrar el área del recinto limitado por las funciones

f(x) = |x| - 1

g(x) = 1 - x^2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \lim_{x \to +\infty} \frac{3e^x - \operatorname{sen} x}{e^x + x} = 3}

\boxed{\text{b)}\ \text{Área} = \frac{7}{3}\ \text{u}^2 \approx 2{,}33\ \text{u}^2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) hay una indeterminación

\frac{\infty}{\infty}

. La exponencial crece mucho más deprisa que

x

y que el seno, que está acotado: dividimos numerador y denominador entre

e^x

y todo lo demás tiende a cero.

En b) las dos funciones son pares, así que el recinto es simétrico respecto del eje

Y

: hallamos los puntos de corte para

x \ge 0

(donde

|x| = x

), integramos «la de arriba menos la de abajo» entre

0

y el corte y multiplicamos por 2.

Desarrollo

a) Cuando

x \to +\infty

e^x \to +\infty

\operatorname{sen} x

está acotado entre

-1

1

, así que el numerador y el denominador tienden a

+\infty

: indeterminación

\frac{\infty}{\infty}

. Dividimos todo entre

e^x

\lim_{x \to +\infty} \frac{3e^x - \operatorname{sen} x}{e^x + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 - \dfrac{\operatorname{sen} x}{e^x}}{1 + \dfrac{x}{e^x}}

$\dfrac{\operatorname{sen} x}{e^x} \to 0$ , porque $\left|\dfrac{\operatorname{sen} x}{e^x}\right| \le \dfrac{1}{e^x} \to 0$ (una función acotada dividida entre algo que tiende a infinito).
$\dfrac{x}{e^x} \to 0$ , porque la exponencial es un infinito de orden superior a $x$ (o por L'Hôpital: $\lim \frac{x}{e^x} = \lim \frac{1}{e^x} = 0$ ).

Por tanto

\lim_{x \to +\infty} \frac{3e^x - \operatorname{sen} x}{e^x + x} = \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3

b) Puntos de corte. Para

x \ge 0

f(x) = x - 1

x - 1 = 1 - x^2 \;\Longrightarrow\; x^2 + x - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{-1 \pm 3}{2} \;\Longrightarrow\; x = 1 \ (\text{válido}),\ x = -2 \ (\text{no, porque } x \ge 0)

Como

f

g

son pares (

f(-x) = f(x)

g(-x) = g(x)

), el otro corte es

x = -1

. Los puntos de corte son

(-1, 0)

(1, 0)

.

Quién va por encima. En

x = 0

g(0) = 1 > f(0) = -1

: entre

-1

1

la parábola

g

va por encima de la «V» de

f

. El recinto queda entre la parábola (arriba) y la V (abajo), y es simétrico respecto del eje

Y

\text{Área} = \int_{-1}^{1} \bigl(g(x) - f(x)\bigr)\,dx = 2\int_0^1 \bigl[(1 - x^2) - (x - 1)\bigr]\,dx = 2\int_0^1 (2 - x - x^2)\,dx

= 2\left[2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = 2\left(2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = 2\cdot\frac{7}{6} = \frac{7}{3}\ \text{u}^2 \approx 2{,}33\ \text{u}^2

Comprobación. El recinto es el área bajo la parábola por encima del eje

X

\int_{-1}^1 (1 - x^2)\,dx = \frac{4}{3}

, más el triángulo de vértices

(-1, 0)

(1, 0)

(0, -1)

que forma la V por debajo del eje, de área

\frac{2 \cdot 1}{2} = 1

\frac{4}{3} + 1 = \frac{7}{3}

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a), con L'Hôpital el seno no desaparece al derivar (pasa a coseno y vuelve a seno), y al final hay que razonar igualmente con su acotación: dividir entre $e^x$ es lo directo. Justifica que $\frac{\operatorname{sen} x}{e^x} \to 0$ porque el seno está acotado.

En b) aprovecha la simetría para quitarte el valor absoluto: integra solo en $[0, 1]$ , donde $|x| = x$ , y multiplica por 2. Di por qué puedes hacerlo (las dos funciones son pares).