Optimización

Sean $x$ e $y$ los lados del rectángulo, en cm. La condición del perímetro es$$2x + 2y = 40 \;\Longrightarrow\; y = 20 - x, \qquad 0 < x < 20$$Por el teorema de Pitágoras, la diagonal mide$$d(x) = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (20 - x)^2} = \sqrt{2x^2 - 40x + 400}, \qquad x \in (0, 20)$$Derivamos con la regla de la cadena:$$d'(x) = \frac{4x - 40}{2\sqrt{2x^2 - 40x + 400}} = \frac{2x - 20}{\sqrt{2x^2 - 40x + 400}}$$El radicando es siempre positivo ($2x^2 - 40x + 400 = 2(x - 10)^2 + 200 > 0$), así que$$d'(x) = 0 \iff 2x - 20 = 0 \iff x = 10$$Signo de la derivada (el denominador es positivo, manda el numerador $2x - 20$):

• En $(0, 10)$: $d'(x) < 0$, $d$ decrece.
• En $(10, 20)$: $d'(x) > 0$, $d$ crece.

Luego en $x = 10$ hay un mínimo, que además es absoluto en $(0, 20)$ porque es el único extremo y la función decrece antes y crece después. Entonces $y = 20 - 10 = 10$: el rectángulo es un cuadrado de lado 10 cm, con diagonal$$d(10) = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14\ \text{cm}$$Comprobación. Perímetro $2\cdot 10 + 2\cdot 10 = 40$ cm ✓. Y otro rectángulo cualquiera da más diagonal: con lados $5$ y $15$, $d = \sqrt{25 + 225} = \sqrt{250} \approx 15{,}81$ cm $> 14{,}14$.