Rectas y planos

De la ecuación continua de $r$: $P_r = (1, 2, 3) \in r$ y $\vec{u} = (1, -1, 1)$. El vector normal de $\pi$ es $\vec{n} = (a, 1, -1)$.

a) Director paralelo al plano:$$\vec{u} \cdot \vec{n} = a - 1 - 1 = a - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; a = 2$$Un punto de la recta en el plano: con $a = 2$, sustituimos $P_r = (1, 2, 3)$:$$2\cdot 1 + 2 - 3 + b = 0 \;\Longrightarrow\; b = -1$$Con estas dos condiciones, la recta es paralela al plano y tiene un punto en él, luego está entera contenida: $\pi \equiv 2x + y - z - 1 = 0$.

Comprobación. Un punto cualquiera de $r$ es $(1 + \lambda,\ 2 - \lambda,\ 3 + \lambda)$:$$2(1 + \lambda) + (2 - \lambda) - (3 + \lambda) - 1 = 2 + 2\lambda + 2 - \lambda - 3 - \lambda - 1 = 0 \quad \forall \lambda$$✓: todos los puntos de $r$ están en $\pi$.

b) La recta es perpendicular al plano si $\vec{u} \parallel \vec{n}$, es decir, si sus coordenadas son proporcionales:$$\frac{a}{1} = \frac{1}{-1} = \frac{-1}{1}$$Las dos últimas razones valen $-1$, así que la condición es compatible y obliga a $a = -1$. En ese caso $\vec{n} = (-1, 1, -1) = -\vec{u}$.

El término independiente $b$ no interviene: cambiar $b$ solo traslada el plano paralelamente a sí mismo, sin cambiar su vector normal. Por tanto sí existen valores: $a = -1$ y $b$ cualquier número real; los planos $-x + y - z + b = 0$ son todos perpendiculares a $r$.

Comprobación. Con $a = -1$, $\vec{n} = (-1, 1, -1)$ y $\vec{u} \times \vec{n} = (1 - 1,\ -1 + 1,\ 1 - 1) = \vec{0}$, luego son paralelos ✓.