Matemáticas IIFácil2 pts

Matrices

Castilla y León · 2018 · Julio · Opción B

Enunciado

Dadas las matrices:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & k \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}

a) (1 punto) Discutir, según los valores de

k

, cuándo

A

tiene inversa y calcularla para

k = 2

.

b) (1 punto) Para

k = 2

, resolver la siguiente ecuación matricial:

AX + B = AB

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \exists A^{-1} \iff k \neq 1;\quad k = 2:\ A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}}

\boxed{\text{b)}\ X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero: calculamos

|A|

en función de

k

y vemos dónde se anula. Para

k = 2

hallamos

A^{-1}

por adjuntos,

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A)^t

.

En b) despejamos

X

multiplicando por

A^{-1}

por la izquierda (el producto de matrices no es conmutativo):

AX = AB - B \Rightarrow X = A^{-1}(AB - B) = B - A^{-1}B

Desarrollo

a) Desarrollamos

|A|

por la segunda fila, que solo tiene un elemento no nulo:

|A| = 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix} = k - 1

|A| = 0 \iff k = 1

Si $k \neq 1$ : $|A| \neq 0$ y $A$ tiene inversa.
Si $k = 1$ : $|A| = 0$ y $A$ no tiene inversa (de hecho, la primera y la tercera fila son iguales).

Para

k = 2

|A| = 1

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}

Adjuntos

A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2,\quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0,\quad A_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1

A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 0,\quad A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1,\quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0

A_{31} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1,\quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0,\quad A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1

La matriz adjunta es simétrica, así que coincide con su traspuesta:

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Comprobación.

A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 - 1 & 0 & -1 + 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 - 2 & 0 & -1 + 2 \end{pmatrix} = I

✓.

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b) Con

k = 2

A

es invertible. Despejamos:

AX + B = AB \;\Longrightarrow\; AX = AB - B \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}(AB - B) = B - A^{-1}B

Calculamos

A^{-1}B

A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}

X = B - A^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Comprobación.

AX = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}

, luego

AX + B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}

, y

AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}

✓.

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Consejo

Al despejar, $A^{-1}$ va a la izquierda en los dos miembros porque $X$ está a la derecha de $A$ : $X = A^{-1}(AB - B)$ . Escribir $(AB - B)A^{-1}$ es un error que se paga entero.

Fíjate en que $A^{-1}AB = B$ : así la cuenta se reduce a $X = B - A^{-1}B$ y te ahorras calcular $AB$ (aunque luego te sirve para comprobar).