Sea la función f(x) = \operatorname{sen} x a) (1 punto) Encontrar las rectas tangentes a la gráfica de la función f(x) en los puntos x = 0 y x = \pi. Encontrar el punto en que se cortan ambas rectas tangentes. b) (1 punto) Hallar el área comprendida entre la gráfica de f(x) y las rectas de ecuaciones: y = x e y = -x + \pi.

Matemáticas IIMedio2 pts

Integrales

También trata: Derivadas y aplicaciones

Castilla y León · 2018 · Julio · Opción A

Enunciado

Sea la función

f(x) = \operatorname{sen} x

a) (1 punto) Encontrar las rectas tangentes a la gráfica de la función

f(x)

en los puntos

x = 0

x = \pi

. Encontrar el punto en que se cortan ambas rectas tangentes.

b) (1 punto) Hallar el área comprendida entre la gráfica de

f(x)

y las rectas de ecuaciones:

y = x

y = -x + \pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ y = x;\quad y = -x + \pi;\quad \text{se cortan en } \left(\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)}

\boxed{\text{b)}\ \text{Área} = \frac{\pi^2}{4} - 2 \approx 0{,}4674\ \text{u}^2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) usamos la ecuación de la recta tangente

y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)

en cada punto, y cortamos las dos rectas resolviendo el sistema.

En b) las dos rectas son justo las tangentes de a), que quedan por encima del arco de seno entre

0

\pi

: el recinto está entre el arco (abajo) y las dos tangentes (arriba), y hay que partir la integral en el punto de corte

x = \frac{\pi}{2}

, donde cambia la recta que va por encima. También se ve como un triángulo menos el área bajo el seno.

Desarrollo

f(x) = \operatorname{sen} x

f'(x) = \cos x

.

En

x = 0

f(0) = 0

f'(0) = \cos 0 = 1

y - 0 = 1\cdot(x - 0) \;\Longrightarrow\; y = x

x = \pi

f(\pi) = 0

f'(\pi) = \cos \pi = -1

y - 0 = -1\cdot(x - \pi) \;\Longrightarrow\; y = -x + \pi

Punto de corte:

x = -x + \pi \Rightarrow 2x = \pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}

, e

y = \frac{\pi}{2}

Q = \left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \approx (1{,}571;\ 1{,}571)

b) Las rectas del enunciado son las dos tangentes de a). Puntos de corte de cada una con la gráfica dentro de la zona que encierran:

$y = x$ corta a $\operatorname{sen} x$ solo en $x = 0$ (para $x > 0$ se cumple $\operatorname{sen} x < x$ ).
$y = -x + \pi$ corta a $\operatorname{sen} x$ solo en $x = \pi$ (por la simetría de la gráfica respecto de $x = \frac{\pi}{2}$ ).
Las dos rectas se cortan en $Q = \left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ , y en $x = \frac{\pi}{2}$ el seno vale $1 < \frac{\pi}{2}$ .

El recinto es el «triángulo curvo» de vértices

(0, 0)

Q

(\pi, 0)

: por arriba la recta

y = x

\left[0, \frac{\pi}{2}\right]

y la recta

y = -x + \pi

\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]

; por abajo, el arco de

\operatorname{sen} x

\text{Área} = \int_0^{\pi/2} (x - \operatorname{sen} x)\,dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (\pi - x - \operatorname{sen} x)\,dx

Primera integral:

\int_0^{\pi/2} (x - \operatorname{sen} x)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} + \cos x\right]_0^{\pi/2} = \left(\frac{\pi^2}{8} + 0\right) - (0 + 1) = \frac{\pi^2}{8} - 1

Segunda integral:

\int_{\pi/2}^{\pi} (\pi - x - \operatorname{sen} x)\,dx = \left[\pi x - \frac{x^2}{2} + \cos x\right]_{\pi/2}^{\pi} = \left(\frac{\pi^2}{2} - 1\right) - \left(\frac{3\pi^2}{8} + 0\right) = \frac{\pi^2}{8} - 1

Sumando:

\text{Área} = \frac{\pi^2}{4} - 2 \approx 0{,}4674\ \text{u}^2

Comprobación. El triángulo de vértices

(0, 0)

(\pi, 0)

Q

tiene base

\pi

y altura

\frac{\pi}{2}

, luego área

\frac{\pi^2}{4}

; le quitamos el área bajo el arco,

\int_0^\pi \operatorname{sen} x\,dx = 2

. Sale lo mismo:

\frac{\pi^2}{4} - 2

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Haz un dibujo antes de integrar: con él se ve que el recinto está entre las tangentes y el arco, y que hay que partir la integral en $x = \frac{\pi}{2}$ , donde cambia la recta de arriba.

Integrar de $0$ a $\pi$ «recta menos seno» con una sola recta es el error más frecuente. Y la comprobación con el triángulo (base por altura entre dos, menos 2) te confirma el resultado.