Derivadas y aplicaciones

a) La función está definida en $x \neq 0$ y es derivable en su dominio:$$f'(x) = -\frac{1}{x^2} + a, \qquad f''(x) = \frac{2}{x^3}$$Extremo en $x = \frac{1}{2}$:$$f'\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\frac{1}{1/4} + a = -4 + a = 0 \;\Longrightarrow\; a = 4$$La gráfica pasa por $\left(\frac{1}{2}, 6\right)$:$$f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = 2 + \frac{a}{2} + b = 2 + 2 + b = 6 \;\Longrightarrow\; b = 2$$Comprobación de que es mínimo. $f''\!\left(\frac{1}{2}\right) = \dfrac{2}{1/8} = 16 > 0$, luego en $x = \frac{1}{2}$ hay un mínimo relativo, y $f\left(\frac{1}{2}\right) = 2 + 2 + 2 = 6$ ✓.

b) Con $a = 4$, $b = 2$:$$f(x) = \frac{1}{x} + 4x + 2$$Continuidad. Es suma de una función racional y un polinomio, continua en todo su dominio $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. En $x = 0$ no está definida, y$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$$así que en $x = 0$ hay una discontinuidad de salto infinito (inevitable).

Asíntota vertical. Por esos límites laterales infinitos, $x = 0$ es asíntota vertical.

Asíntota horizontal. $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ (manda el término $4x$): no hay.

Asíntota oblicua $y = mx + n$:$$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{1}{x^2} + 4 + \frac{2}{x}\right) = 4$$$$n = \lim_{x \to \pm\infty} \bigl(f(x) - 4x\bigr) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{1}{x} + 2\right) = 2$$La recta $y = 4x + 2$ es asíntota oblicua por los dos lados. Además $f(x) - (4x + 2) = \frac{1}{x}$: la gráfica va por encima de la asíntota para $x > 0$ y por debajo para $x < 0$.