Rectas y planos

a) Resolvemos$$\left\{\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 0 \\ x - y + z & = & 2 \\ 2x + y + z & = & 3 \end{array}\right.$$Restando la primera de la segunda, $-2y = 2$, luego $y = -1$. Restando la primera de la tercera, $x = 3$. De la primera, $z = -x - y = -3 + 1 = -2$.$$P = (3, -1, -2)$$El sistema tiene solución única, así que la recta y el plano son secantes y $P$ es su único punto común.

Comprobación. En $r$: $3 - 1 - 2 = 0$ ✓ y $3 + 1 - 2 = 2$ ✓. En $\pi$: $6 - 1 - 2 - 3 = 0$ ✓.

b) Vector director de $r$: el producto vectorial de los normales de los dos planos que la definen,$$\vec{u}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (1 + 1,\ 1 - 1,\ -1 - 1) = (2, 0, -2) \;\parallel\; (1, 0, -1)$$Vector normal de $\pi$: $\vec{n}_\pi = (2, 1, 1)$.

La recta $s$ está en $\pi$, así que su director es perpendicular a $\vec{n}_\pi$; y corta perpendicularmente a $r$, así que también es perpendicular a $\vec{u}_r$. Tomamos$$\vec{v}_s = \vec{n}_\pi \times \vec{u}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (-1 - 0,\ 1 + 2,\ 0 - 1) = (-1, 3, -1) \;\parallel\; (1, -3, 1)$$Como $s \subset \pi$ y $s$ corta a $r$, el punto de corte está en $r$ y en $\pi$: es $P = (3, -1, -2)$. Por tanto$$s \equiv \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{-3} = \frac{z + 2}{1}$$o, en paramétricas, $(x, y, z) = (3 + \lambda,\ -1 - 3\lambda,\ -2 + \lambda)$.

Comprobación. $\vec{v}_s \cdot \vec{n}_\pi = 2 - 3 + 1 = 0$ y $P \in \pi$, luego $s \subset \pi$ ✓. $\vec{v}_s \cdot \vec{u}_r = 1 + 0 - 1 = 0$ y $s$ pasa por $P \in r$, luego corta a $r$ perpendicularmente ✓.