Sistemas de ecuaciones

a) Traducimos las dos condiciones:$$x = y + z, \qquad y = \frac{x}{2} + 3z$$Pasando todo al primer miembro (y multiplicando la segunda por 2 para quitar el denominador):$$\left\{\begin{array}{rcl} x - y - z & = & 0 \\ -x + 2y - 6z & = & 0 \end{array}\right.$$Es un sistema homogéneo, luego la columna de términos independientes es nula y $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*)$: siempre es compatible. La matriz de coeficientes es$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -6 \end{pmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0$$así que $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$ = número de incógnitas. Por Rouché-Frobenius el sistema es compatible indeterminado: hay infinitas ternas que cumplen las condiciones, con $3 - 2 = 1$ parámetro.

Para resolverlo tomamos $z = \lambda$. Sustituyendo $x = y + \lambda$ en la segunda condición:$$y = \frac{y + \lambda}{2} + 3\lambda \;\Longrightarrow\; 2y = y + \lambda + 6\lambda \;\Longrightarrow\; y = 7\lambda$$y entonces $x = 7\lambda + \lambda = 8\lambda$. La solución general es$$(x, y, z) = (8\lambda,\ 7\lambda,\ \lambda), \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobación. $y + z = 7\lambda + \lambda = 8\lambda = x$ ✓; $\frac{x}{2} + 3z = 4\lambda + 3\lambda = 7\lambda = y$ ✓.

b) Cualquier valor de $\lambda$ sirve. Con $\lambda = 1$:$$x = 8, \quad y = 7, \quad z = 1$$En efecto, $8 = 7 + 1$ y $7 = \frac{8}{2} + 3\cdot 1 = 4 + 3$. (Con $\lambda = 2$ saldría $16, 14, 2$, y con $\lambda = 0$ la solución trivial $0, 0, 0$.)