Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

También trata: Distribución normal

Castilla-La Mancha · 2018 · Junio · Opción B

Enunciado

a) El

60\,\%

del censo de una ciudad son mujeres. Las preferencias de las mujeres por los tres partidos que se presentan son: el

30\,\%

vota a A, el

50\,\%

a B y el resto a C; mientras que entre los hombres las preferencias son: el

10\,\%

vota a A, el

60\,\%

a B y el resto a C. Elegida al azar una persona del censo, calcula razonadamente la probabilidad de:

a1) Ser hombre y votante de C. (0,75 puntos)

a2) Si resultó ser votante de B, que sea mujer. (0,5 puntos)

b) Las notas que se han obtenido por 1000 opositores han seguido una distribución normal de media

4{,}05

y desviación típica

2{,}5

.

b1) ¿Cuántos opositores han superado el 5? Razona la respuesta. (0,75 puntos)

b2) Si tenemos que adjudicar 330 plazas, calcula razonadamente la nota de corte. (0,5 puntos)

(Se adjunta la tabla de la distribución normal)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a1)}\ P(H \cap C) = 0{,}12 \qquad \text{a2)}\ P(M \mid B) = \frac{5}{9} \approx 0{,}556}

\boxed{\text{b1)}\ 352 \ \text{opositores} \qquad \text{b2)}\ \text{nota de corte} = 5{,}15}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Es un experimento en dos etapas: primero el sexo (mujer u hombre) y luego el partido, cuyas probabilidades dependen del sexo. Un diagrama de árbol lo ordena todo. En a1) se pide una intersección («hombre y C»): se multiplica a lo largo de una rama. En a2) se da el efecto (vota a B) y se pregunta por la causa (mujer): Bayes, con la probabilidad total de B en el denominador.

b) Con

X \sim N(4{,}05;\ 2{,}5)

, en b1) calculamos

P(X > 5)

tipificando y la multiplicamos por los 1000 opositores. En b2) es el problema inverso: 330 plazas de 1000 significa que aprueba el

33\,\%

con mejor nota, así que buscamos la nota

c

con

P(X > c) = 0{,}33

; en la tabla buscamos la probabilidad

0{,}67

y destipificamos.

Desarrollo

a) Sucesos:

M

= «mujer»,

H

= «hombre»;

A

B

C

= «vota a A, B, C».

P(M) = 0{,}6, \qquad P(H) = 0{,}4

	$P(A \mid \cdot)$	$P(B \mid \cdot)$	$P(C \mid \cdot)$
Mujer ( $0{,}6$ )	$0{,}3$	$0{,}5$	$0{,}2$
Hombre ( $0{,}4$ )	$0{,}1$	$0{,}6$	$0{,}3$

(«El resto a C»:

1 - 0{,}3 - 0{,}5 = 0{,}2

en las mujeres y

1 - 0{,}1 - 0{,}6 = 0{,}3

en los hombres.)

a1) Probabilidad de la intersección (rama Hombre → C del árbol):

P(H \cap C) = P(H)\cdot P(C \mid H) = 0{,}4\cdot 0{,}3 = 0{,}12

a2) Primero, la probabilidad total de votar a B:

P(B) = P(M)\,P(B \mid M) + P(H)\,P(B \mid H) = 0{,}6\cdot 0{,}5 + 0{,}4\cdot 0{,}6 = 0{,}30 + 0{,}24 = 0{,}54

Teorema de Bayes:

P(M \mid B) = \frac{P(M)\,P(B \mid M)}{P(B)} = \frac{0{,}30}{0{,}54} = \frac{5}{9} \approx 0{,}5556

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X

= «nota de un opositor»,

X \sim N(4{,}05;\ 2{,}5)

. Tipificamos con

Z = \dfrac{X - 4{,}05}{2{,}5} \sim N(0, 1)

.

b1)

P(X > 5) = P\left(Z > \frac{5 - 4{,}05}{2{,}5}\right) = P(Z > 0{,}38) = 1 - P(Z \leq 0{,}38) = 1 - 0{,}6480 = 0{,}3520

Número esperado de opositores con más de un 5:

1000\cdot 0{,}3520 = 352 \ \text{opositores}

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b2) Se adjudican las 330 plazas a las 330 mejores notas, es decir, al

\frac{330}{1000} = 33\,\%

superior. La nota de corte

c

cumple

P(X > c) = 0{,}33 \iff P(X \leq c) = 0{,}67 \iff P\left(Z \leq \frac{c - 4{,}05}{2{,}5}\right) = 0{,}67

En la tabla,

0{,}6700

aparece exactamente para

z = 0{,}44

. Por tanto

\frac{c - 4{,}05}{2{,}5} = 0{,}44 \iff c = 4{,}05 + 0{,}44\cdot 2{,}5 = 4{,}05 + 1{,}1 = 5{,}15

La nota de corte es

5{,}15

: obtienen plaza quienes sacan

5{,}15

o más. (Tiene sentido: con un

5

hay 352 opositores por encima, más que plazas, así que el corte tiene que ser algo mayor que

5

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Consejo

En a1), «ser hombre y votante de C» es una intersección, $0{,}4\cdot 0{,}3$ , no la condicionada $P(C \mid H) = 0{,}3$ . Lee bien si el enunciado da por sabido algo («si resultó…»).

En b2), las plazas se dan a las notas altas: buscas $P(X > c) = 0{,}33$ , no $P(X < c) = 0{,}33$ , que daría un corte por debajo de la media. Comprueba que tu nota de corte es coherente con b1).