Vectores y ángulos

a) En coordenadas:$$\vec{u} - \lambda\vec{v} = (0, 1, 1) - \lambda(1, 1, -1) = (-\lambda,\ 1 - \lambda,\ 1 + \lambda)$$Imponemos que sea perpendicular a $\vec{w} = (2, 0, 3)$:$$(\vec{u} - \lambda\vec{v})\cdot\vec{w} = 2(-\lambda) + 0\cdot(1 - \lambda) + 3(1 + \lambda) = -2\lambda + 3 + 3\lambda = \lambda + 3 = 0 \iff \lambda = -3$$Comprobación: con $\lambda = -3$, $\vec{u} + 3\vec{v} = (3, 4, -2)$ y $(3, 4, -2)\cdot(2, 0, 3) = 6 + 0 - 6 = 0$.

b) Determinante formado por los tres vectores:$$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 0\cdot(3 - 0) - 1\cdot(3 + 2) + 1\cdot(0 - 2) = -5 - 2 = -7 \neq 0$$Como el determinante no es nulo, el rango de los tres vectores es 3: no son linealmente dependientes; son linealmente independientes (forman una base de $\mathbb{R}^3$).

c) Un vector director perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$ a la vez es$$\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}\,(-1 - 1) - \vec{j}\,(0 - 1) + \vec{k}\,(0 - 1) = (-2, 1, -1)$$Tomamos $\vec{d} = (2, -1, 1)$ (el opuesto, misma dirección). Comprobación: $\vec{d}\cdot\vec{u} = 0 - 1 + 1 = 0$ y $\vec{d}\cdot\vec{v} = 2 - 1 - 1 = 0$.

Ecuación continua de la recta por $P(2, 0, 2)$:$$r:\ \frac{x - 2}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z - 2}{1}$$Igualando las fracciones de dos en dos obtenemos las implícitas:$$\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{-1} \iff -x + 2 = 2y \iff x + 2y - 2 = 0$$$$\frac{y}{-1} = \frac{z - 2}{1} \iff y = -z + 2 \iff y + z - 2 = 0$$$$r \equiv \left\{\begin{array}{l} x + 2y - 2 = 0 \\ y + z - 2 = 0 \end{array}\right.$$Otra forma (más directa). La recta es perpendicular a $\vec{u}$, así que está contenida en el plano que pasa por $P$ con vector normal $\vec{u}$: $0(x - 2) + 1(y - 0) + 1(z - 2) = 0$, es decir, $y + z - 2 = 0$. Del mismo modo, está en el plano por $P$ con normal $\vec{v}$: $(x - 2) + y - (z - 2) = 0$, es decir, $x + y - z = 0$. Así,$$r \equiv \left\{\begin{array}{l} y + z - 2 = 0 \\ x + y - z = 0 \end{array}\right.$$que es la misma recta (sumando las dos ecuaciones de este sistema sale $x + 2y - 2 = 0$). $P$ cumple todas: $0 + 2 - 2 = 0$, $2 + 0 - 2 = 0$, $2 + 0 - 2 = 0$.