Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Matrices

También trata: Determinantes

Castilla-La Mancha · 2018 · Junio · Opción B

Enunciado

a) Encuentra los valores del parámetro

a \in \mathbb{R}

para que la siguiente matriz tenga inversa. (1 punto)

A = \begin{pmatrix} a - 1 & 1 & -1 \\ 0 & a - 2 & 1 \\ a & 0 & 2 \end{pmatrix}

b) Para

a = 2

calcula razonadamente

A^{-1}

y comprueba el resultado. (1 punto)

c) Para

a = 0

calcula razonadamente el valor de los determinantes

|A^{-1}|

|2A|

. (0,5 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \exists A^{-1} \iff a \neq 1,\ a \neq \tfrac{4}{3} \qquad \text{c)}\ |A^{-1}| = \tfrac{1}{4},\ |2A| = 32}

\boxed{\text{b)}\ A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1/2 \\ 1 & 2 & -1/2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. En a) calculamos

|A|

en función de

a

y quitamos los valores que lo anulan.

En b) usamos la fórmula de la inversa por adjuntos,

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj} A)^t

, y la comprobamos multiplicando:

A\cdot A^{-1}

debe dar la identidad.

En c) no hace falta calcular ninguna matriz: bastan las propiedades

|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}

|kA| = k^n|A|

para una matriz de orden

n

(aquí

n = 3

Desarrollo

a) Desarrollamos

|A|

por la primera columna, que tiene un cero:

|A| = (a - 1)\begin{vmatrix} a - 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - 0 + a\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ a - 2 & 1 \end{vmatrix} = 2(a - 1)(a - 2) + a\,(1 + a - 2)

|A| = 2(a - 1)(a - 2) + a(a - 1) = (a - 1)\big(2a - 4 + a\big) = (a - 1)(3a - 4)

(Desarrollado:

|A| = 3a^2 - 7a + 4

.) Por tanto

|A| = 0 \iff a = 1 \ \text{ o } \ a = \frac{4}{3}

A

tiene inversa si y solo si

a \neq 1

a \neq \frac{4}{3}

.

b) Con

a = 2

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad |A| = (2 - 1)(6 - 4) = 2 \neq 0

así que existe

A^{-1}

. Adjuntos

A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

A_{11} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2, \quad A_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0

A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2, \quad A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 4, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 2

A_{31} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1, \quad A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0

\operatorname{Adj} A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ -2 & 4 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad (\operatorname{Adj} A)^t = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{|A|}(\operatorname{Adj} A)^t = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 2 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Comprobación:

A\cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 2 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 1 + 0 & -1 + 2 - 1 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 + 0 + 0 & -2 + 0 + 2 & 1 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

c) Con

a = 0

|A| = (0 - 1)(0 - 4) = 4

(también se ve directamente:

A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

es triangular y

|A| = (-1)(-2)(2) = 4

Como $A\cdot A^{-1} = I$ , $|A|\cdot|A^{-1}| = |I| = 1$ , luego

|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{4}

Multiplicar la matriz por $2$ multiplica por $2$ cada una de sus $3$ filas, y cada fila saca un factor $2$ del determinante:

|2A| = 2^3\,|A| = 8\cdot 4 = 32

Consejo

El error clásico de c) es escribir $|2A| = 2|A| = 8$ . Al multiplicar una matriz de orden 3 por $2$ , el determinante se multiplica por $2^3 = 8$ .

En b), no olvides trasponer la adjunta (o, lo que es igual, colocar cada adjunto $A_{ij}$ en la posición $(j, i)$ ) y hacer la comprobación $A\cdot A^{-1} = I$ , que el enunciado pide expresamente y puntúa.