Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Castilla-La Mancha · 2018 · Junio · Opción B

Enunciado

Dadas las funciones

f(x) = 2x\,e^{-x}

g(x) = x^2\,e^{-x}

, calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por las gráficas de esas funciones. (2,5 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{Área} = \int_0^2 (2x - x^2)\,e^{-x}\,dx = \frac{4}{e^2} \approx 0{,}541\ \text{u}^2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Para el área entre dos curvas hacen falta tres cosas: dónde se cortan (los límites de integración), cuál va por encima entre esos cortes y la integral de la diferencia.

Las dos funciones comparten el factor

e^{-x}

, que nunca se anula y siempre es positivo, así que los cortes y quién va arriba dependen solo de

2x

frente a

x^2

. Después hay que integrar

(2x - x^2)e^{-x}

: un polinomio por una exponencial, caso típico de integración por partes (dos veces, porque el polinomio es de grado 2).

Desarrollo

Puntos de corte.

f(x) = g(x) \iff 2x\,e^{-x} = x^2\,e^{-x} \iff e^{-x}(2x - x^2) = 0 \iff x(2 - x) = 0

porque

e^{-x} > 0

. Las gráficas se cortan en

x = 0

x = 2

, y como no hay más cortes, el recinto cerrado es el comprendido entre ellos.

Qué función va por encima. En

(0, 2)

f(x) - g(x) = e^{-x}\,x(2 - x) > 0

(los tres factores son positivos). Por ejemplo, en

x = 1

f(1) = \frac{2}{e} \approx 0{,}74 > g(1) = \frac{1}{e} \approx 0{,}37

. Así que

f

va por encima y

\text{Área} = \int_0^2 \big(f(x) - g(x)\big)\,dx = \int_0^2 (2x - x^2)\,e^{-x}\,dx

Primitiva. Por partes, con

u = 2x - x^2

dv = e^{-x}\,dx

du = (2 - 2x)\,dx, \qquad v = -e^{-x}

\int (2x - x^2)e^{-x}\,dx = -(2x - x^2)e^{-x} + \int (2 - 2x)e^{-x}\,dx

Otra vez por partes, con

u = 2 - 2x

dv = e^{-x}\,dx

du = -2\,dx

v = -e^{-x}

\int (2 - 2x)e^{-x}\,dx = -(2 - 2x)e^{-x} - \int 2e^{-x}\,dx = -(2 - 2x)e^{-x} + 2e^{-x} = 2x\,e^{-x}

Juntando:

\int (2x - x^2)e^{-x}\,dx = -(2x - x^2)e^{-x} + 2x\,e^{-x} + C = x^2\,e^{-x} + C

¡Una primitiva muy sencilla! Comprobación:

\left(x^2 e^{-x}\right)' = 2x\,e^{-x} - x^2 e^{-x} = (2x - x^2)e^{-x}

. Correcto.

Regla de Barrow.

\text{Área} = \Big[x^2\,e^{-x}\Big]_0^2 = 4e^{-2} - 0 = \frac{4}{e^2} \approx 0{,}541\ \text{u}^2

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Consejo

Antes de integrar, justifica qué función va por encima (con el signo de $f - g$ o con un valor intermedio): si integras $g - f$ te sale el área con signo negativo.

Al hacer partes con $e^{-x}$ cuida los signos: $\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}$ . Si la primitiva sale tan sencilla como $x^2 e^{-x}$ , derívala para confirmarlo. Y el área lleva $\text{u}^2$ .