Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Castilla-La Mancha · 2018 · Junio · Opción B

Enunciado

a) Prueba que cualquiera que sea la constante

a

la función

f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x + a

cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo

[1, 3]

. (0,75 puntos)

b) Calcula razonadamente un punto del intervalo abierto

(1, 3)

cuya existencia asegura el teorema de Rolle. (0,75 puntos)

c) Calcula razonadamente los puntos de la gráfica

f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x

donde la recta tangente tenga la misma pendiente que la recta

y = 4x + 2

. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ f \text{ polinómica y } f(1) = f(3) = 3 + a \quad \text{b)}\ c = \frac{7}{3}}

\boxed{\text{c)}\ (3, 3) \ \text{ y } \ \left(\tfrac{1}{3}, \tfrac{49}{27}\right)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El teorema de Rolle tiene tres hipótesis:

f

continua en

[a, b]

, derivable en

(a, b)

f(a) = f(b)

. Si se cumplen, hay un punto interior donde la derivada se anula (tangente horizontal).

En a) las dos primeras son gratis por ser un polinomio; la clave es ver que $f(1) = f(3)$ sin importar el valor de $a$ , porque la constante aparece sumando en los dos lados.
En b) buscamos ese punto: resolvemos $f'(c) = 0$ y nos quedamos con la solución que está dentro de $(1, 3)$ .
En c) «misma pendiente» significa tangente paralela: $f'(x) = 4$ . Resolvemos y calculamos la ordenada de cada punto.

Desarrollo

a) Hipótesis de Rolle en

[1, 3]

para

f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x + a

Continuidad en $[1, 3]$ : $f$ es un polinomio, continuo en todo $\mathbb{R}$ .
Derivabilidad en $(1, 3)$ : por ser polinomio es derivable en todo $\mathbb{R}$ , con $f'(x) = 3x^2 - 10x + 7$ .
Mismo valor en los extremos:

f(1) = 1 - 5 + 7 + a = 3 + a, \qquad f(3) = 27 - 45 + 21 + a = 3 + a

Luego

f(1) = f(3)

para cualquier valor de

a

. Se cumplen las tres hipótesis, sea cual sea

a

.

b) Rolle asegura que existe

c \in (1, 3)

con

f'(c) = 0

. Lo buscamos:

3c^2 - 10c + 7 = 0 \iff c = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 84}}{6} = \frac{10 \pm 4}{6} \iff c = \frac{7}{3} \ \text{ o } \ c = 1

c = 1

es un extremo del intervalo y no está en el abierto

(1, 3)

. El punto que garantiza Rolle es

c = \frac{7}{3} \approx 2{,}33 \in (1, 3)

(No depende de

a

: la constante desaparece al derivar.)

c) Ahora

f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x

, con

f'(x) = 3x^2 - 10x + 7

. La recta

y = 4x + 2

tiene pendiente

4

; tangente con la misma pendiente significa

f'(x) = 4 \iff 3x^2 - 10x + 7 = 4 \iff 3x^2 - 10x + 3 = 0 \iff x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6}

x = 3 \quad \text{o} \quad x = \frac{1}{3}

Ordenadas:

f(3) = 27 - 45 + 21 = 3, \qquad f\left(\tfrac{1}{3}\right) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + \frac{7}{3} = \frac{1 - 15 + 63}{27} = \frac{49}{27}

Los puntos son

(3, 3)

\left(\frac{1}{3}, \frac{49}{27}\right)

. Por ejemplo, la tangente en

(3, 3)

y = 3 + 4(x - 3) = 4x - 9

, paralela a

y = 4x + 2

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a), escribe las tres hipótesis una por una y justifica cada una; no basta con «es un polinomio». La clave del apartado es $f(1) = f(3) = 3 + a$ .

En b), descarta $c = 1$ diciendo por qué: Rolle da un punto del intervalo abierto. En c), el enunciado pide puntos: no te quedes en las abscisas, calcula también $f(x)$ .