Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Castilla-La Mancha · 2018 · Junio · Opción A

Enunciado

a) Una planta industrial tiene tres máquinas. La máquina A produce 500 condensadores diarios, con un

3\,\%

de defectuosos, la máquina B produce 700 con un

4\,\%

de defectuosos y la C produce 800 con un

2\,\%

de defectuosos. Al final del día se elige un condensador al azar.

a1) Calcula razonadamente la probabilidad de que sea defectuoso. (0,75 puntos)

a2) Si es defectuoso, calcula razonadamente la probabilidad de que haya sido producido por la máquina A. (0,5 puntos)

b) Lanzamos un dado perfecto cinco veces. Sea X la variable «Número de múltiplos de tres que pueden salir».

b1) Calcula razonadamente la media y la desviación típica de la variable X. (0,75 puntos)

b2) Calcula razonadamente la probabilidad de obtener cuatro o más múltiplos de tres. (0,5 puntos)

(Se adjunta la tabla de la distribución binomial para

n = 5

)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a1)}\ P(D) = 0{,}0295 \qquad \text{a2)}\ P(A \mid D) = \frac{15}{59} \approx 0{,}254}

\boxed{\text{b1)}\ \mu = \frac{5}{3} \approx 1{,}67,\ \ \sigma = \frac{\sqrt{10}}{3} \approx 1{,}05 \qquad \text{b2)}\ P(X \geq 4) = \frac{11}{243} \approx 0{,}0453}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Las tres máquinas forman una partición: cada condensador sale de una y solo una. Las probabilidades de cada máquina no son iguales: dependen de cuánto produce cada una sobre el total de

500 + 700 + 800 = 2000

. Con un diagrama de árbol, a1) es el teorema de la probabilidad total y a2) es Bayes (una probabilidad «hacia atrás»: sabemos el efecto, defectuoso, y preguntamos por la causa).

b) Cinco lanzamientos independientes, y en cada uno solo nos importa «sale múltiplo de tres» (un 3 o un 6) o «no sale». Es una binomial

B(5, p)

con

p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

. La media y la varianza tienen fórmula directa, y en b2) sumamos

P(X = 4) + P(X = 5)

Desarrollo

a) Sucesos:

A

B

C

= «fabricado por la máquina A, B o C»;

D

= «defectuoso».

P(A) = \frac{500}{2000} = 0{,}25, \qquad P(B) = \frac{700}{2000} = 0{,}35, \qquad P(C) = \frac{800}{2000} = 0{,}40

P(D \mid A) = 0{,}03, \qquad P(D \mid B) = 0{,}04, \qquad P(D \mid C) = 0{,}02

Máquina	$P(\text{máquina})$	$P(D \mid \text{máquina})$	$P(\text{máquina} \cap D)$
A	$0{,}25$	$0{,}03$	$0{,}0075$
B	$0{,}35$	$0{,}04$	$0{,}0140$
C	$0{,}40$	$0{,}02$	$0{,}0080$

a1) Teorema de la probabilidad total:

P(D) = P(A)\,P(D \mid A) + P(B)\,P(D \mid B) + P(C)\,P(D \mid C)

P(D) = 0{,}25\cdot 0{,}03 + 0{,}35\cdot 0{,}04 + 0{,}40\cdot 0{,}02 = 0{,}0075 + 0{,}014 + 0{,}008 = 0{,}0295

Contando condensadores se ve lo mismo: al día hay

15 + 28 + 16 = 59

defectuosos de

2000

, y

\frac{59}{2000} = 0{,}0295

.

a2) Teorema de Bayes:

P(A \mid D) = \frac{P(A)\,P(D \mid A)}{P(D)} = \frac{0{,}0075}{0{,}0295} = \frac{15}{59} \approx 0{,}2542

(Con los recuentos: de los 59 defectuosos, 15 son de la máquina A.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) En cada lanzamiento, «éxito» = sale 3 o 6, con probabilidad

p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

, y

q = 1 - p = \frac{2}{3}

. Los cinco lanzamientos son independientes y

p

no cambia, así que

X \sim B\left(5, \tfrac{1}{3}\right)

b1) Media y desviación típica de una binomial:

\mu = n\,p = 5\cdot\frac{1}{3} = \frac{5}{3} \approx 1{,}67

\sigma = \sqrt{n\,p\,q} = \sqrt{5\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3} \approx 1{,}054

b2) «Cuatro o más» es

X = 4

X = 5

P(X = 4) = \binom{5}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^4\left(\frac{2}{3}\right)^1 = 5\cdot\frac{1}{81}\cdot\frac{2}{3} = \frac{10}{243}

P(X = 5) = \binom{5}{5}\left(\frac{1}{3}\right)^5 = \frac{1}{243}

P(X \geq 4) = \frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243} \approx 0{,}0453

Con la tabla (columna

p = 0{,}33

, que corresponde a

\frac{1}{3}

P(X \geq 4) = 0{,}0412 + 0{,}0041 = 0{,}0453

, el mismo valor.

Consejo

En a), no supongas que las tres máquinas son igual de probables: el peso de cada una es su producción sobre el total ( $0{,}25$ , $0{,}35$ y $0{,}40$ ). Dibuja el árbol y nombra los sucesos.

En b), justifica que es una binomial (número fijo de pruebas independientes, dos resultados, $p$ constante) antes de usar las fórmulas. Y recuerda que $\sigma$ es la raíz de $npq$ .