Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Rectas y planos

Castilla-La Mancha · 2018 · Junio · Opción A

Enunciado

Dado el plano

\alpha \equiv 4x + 2y + 4z - 15 = 0

y el punto

A(2, -3, 1)

:

a) Calcula la distancia del punto

A

al plano

\alpha

. (1 punto)

b) Calcula razonadamente el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia al plano

\alpha

sea igual que la distancia del punto

A

al plano

\alpha

. (1,5 puntos)

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ d(A, \alpha) = \frac{3}{2}\ \text{u}}

\boxed{\text{b)}\ \text{Dos planos paralelos a } \alpha:\ 2x + y + 2z - 12 = 0 \ \text{ y } \ 2x + y + 2z - 3 = 0}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) basta la fórmula de la distancia de un punto a un plano: se sustituye el punto en la ecuación del plano, se toma el valor absoluto y se divide entre el módulo del vector normal.

En b) llamamos

P(x, y, z)

a un punto cualquiera del lugar e imponemos que su distancia a

\alpha

sea la de a). Al quitar el valor absoluto salen dos ecuaciones: los puntos que están a esa distancia por un lado del plano y los que lo están por el otro. Geométricamente, son dos planos paralelos a

\alpha

, uno a cada lado; uno de ellos pasa por

A

Desarrollo

a) El vector normal de

\alpha

\vec{n} = (4, 2, 4)

, con módulo

|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{36} = 6

Distancia de

A(2, -3, 1)

\alpha

d(A, \alpha) = \frac{|4\cdot 2 + 2\cdot(-3) + 4\cdot 1 - 15|}{6} = \frac{|8 - 6 + 4 - 15|}{6} = \frac{|-9|}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\ \text{u}

b) Un punto

P(x, y, z)

está en el lugar geométrico si y solo si

d(P, \alpha) = \dfrac{3}{2}

\frac{|4x + 2y + 4z - 15|}{6} = \frac{3}{2} \iff |4x + 2y + 4z - 15| = 9

Un valor absoluto igual a

9

da dos posibilidades:

$4x + 2y + 4z - 15 = 9 \iff 4x + 2y + 4z - 24 = 0 \iff 2x + y + 2z - 12 = 0$
$4x + 2y + 4z - 15 = -9 \iff 4x + 2y + 4z - 6 = 0 \iff 2x + y + 2z - 3 = 0$

El lugar geométrico es la unión de dos planos paralelos a $\alpha$ (tienen el mismo vector normal, proporcional a

(2, 1, 2)

), situados a distancia

\frac{3}{2}

\alpha

, uno a cada lado:

\beta_1 \equiv 2x + y + 2z - 12 = 0, \qquad \beta_2 \equiv 2x + y + 2z - 3 = 0

Comprobaciones.

El punto $A$ está en $\beta_2$ : $2\cdot 2 + (-3) + 2\cdot 1 - 3 = 0$ . Tiene sentido: $A$ está a distancia $\frac{3}{2}$ de $\alpha$ , así que pertenece al lugar.
Escribiendo $\alpha \equiv 2x + y + 2z - \frac{15}{2} = 0$ , la distancia entre planos paralelos da $d(\alpha, \beta_1) = \dfrac{|-12 + 15/2|}{3} = \dfrac{9/2}{3} = \dfrac{3}{2}$ y $d(\alpha, \beta_2) = \dfrac{|-3 + 15/2|}{3} = \dfrac{3}{2}$ .

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b), el fallo más común es quitar el valor absoluto sin desdoblar y dar un solo plano. «A una distancia dada de un plano» hay siempre dos planos paralelos, uno a cada lado.

No olvides el valor absoluto en la fórmula de la distancia (una distancia nunca es negativa) y pon las unidades (u) en a). Comprobar que $A$ está en uno de los dos planos es una verificación rápida y muy convincente.

Paso 1 de 3

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