Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -a \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 4 & -5 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -a & 4 \\ 1 & a & 1 & 2 \\ 1 & 4 & -5 & 6 \end{array}\right)$$Determinante de $A$ por Sarrus:$$|A| = 1\cdot a\cdot(-5) + 3\cdot 1\cdot 1 + (-a)\cdot 1\cdot 4 - \big[(-a)\cdot a\cdot 1 + 3\cdot 1\cdot(-5) + 1\cdot 1\cdot 4\big]$$$$|A| = -5a + 3 - 4a - (-a^2 - 15 + 4) = a^2 - 9a + 14$$$$|A| = 0 \iff a^2 - 9a + 14 = 0 \iff a = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2} \iff a = 2 \ \text{ o } \ a = 7$$Así que $|A| = (a - 2)(a - 7)$.

Caso $a \neq 2$ y $a \neq 7$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*)$, que es el número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $a = 2$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & 4 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & -5 & 6 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 3 = -1 \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 2$ (no es 3 porque $|A| = 0$). Para $A^*$ orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 4 & 6 \end{vmatrix} = 1(12 - 8) - 3(6 - 2) + 4(4 - 2) = 4 - 12 + 8 = 0$$El otro orlado posible es el propio $|A| = 0$, luego $\operatorname{rg}(A^*) = 2$. Como $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro).

Caso $a = 7$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -7 & 4 \\ 1 & 7 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & -5 & 6 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} = 7 - 3 = 4 \neq 0$ da $\operatorname{rg}(A) = 2$. Orlando con la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 7 & 2 \\ 1 & 4 & 6 \end{vmatrix} = 1(42 - 8) - 3(6 - 2) + 4(4 - 7) = 34 - 12 - 12 = 10 \neq 0$$Luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible (sin solución).

b) Para $a = 2$ el rango es 2 y el menor no nulo está en las dos primeras filas, así que la tercera ecuación es combinación de las otras dos y podemos quitarla:$$\left\{\begin{array}{l} x + 3y - 2z = 4 \\ x + 2y + z = 2 \end{array}\right.$$Restando la segunda a la primera: $y - 3z = 2 \Rightarrow y = 2 + 3z$.

Sustituyendo en la segunda: $x = 2 - 2y - z = 2 - 2(2 + 3z) - z = -2 - 7z$.

Tomando $z = \lambda$ como parámetro:$$(x, y, z) = (-2 - 7\lambda,\ 2 + 3\lambda,\ \lambda), \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobación en la tercera ecuación (la que hemos quitado): $x + 4y - 5z = -2 - 7\lambda + 8 + 12\lambda - 5\lambda = 6$. Se cumple para todo $\lambda$. (Por ejemplo, $\lambda = 0$ da $(-2, 2, 0)$: $-2 + 6 = 4$, $-2 + 4 = 2$, $-2 + 8 = 6$.)