Calcula razonadamente las siguientes integrales: (1,25 puntos por integral) a) \displaystyle\int_0^{\pi} (x^2 - 1)\cos x \, dx b) \displaystyle\int \frac{e^x}{e^{2x} + e^x - 2}\, dx Nota: En la integral b) puede ayudarte hacer el cambio de variable e^x = t.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Castilla-La Mancha · 2018 · Junio · Opción A

Enunciado

Calcula razonadamente las siguientes integrales: (1,25 puntos por integral)

a)

\displaystyle\int_0^{\pi} (x^2 - 1)\cos x \, dx

\displaystyle\int \frac{e^x}{e^{2x} + e^x - 2}\, dx

Nota: En la integral b) puede ayudarte hacer el cambio de variable

e^x = t

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ \int_0^{\pi} (x^2 - 1)\cos x\,dx = -2\pi \approx -6{,}28}

\boxed{\text{b)}\ \int \frac{e^x\,dx}{e^{2x} + e^x - 2} = \frac{1}{3}\ln\frac{|e^x - 1|}{e^x + 2} + C}

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Estrategia

Son dos técnicas clásicas, una en cada apartado.

a) Un polinomio por un coseno: es el caso típico de integración por partes, tomando el polinomio como $u$ (al derivarlo baja de grado). Como es de grado 2, habrá que aplicar partes dos veces. Después, Barrow entre $0$ y $\pi$ .
b) Todo depende de $e^x$ , y el $e^x$ del numerador es justo lo que aparece al diferenciar $t = e^x$ . Con el cambio queda una integral racional de denominador $t^2 + t - 2$ , que se factoriza y se descompone en fracciones simples. Al final, deshacemos el cambio.

Desarrollo

a) Primero la primitiva. Primera integración por partes:

u = x^2 - 1 \;\Rightarrow\; du = 2x\,dx, \qquad dv = \cos x\,dx \;\Rightarrow\; v = \operatorname{sen} x

\int (x^2 - 1)\cos x\,dx = (x^2 - 1)\operatorname{sen} x - \int 2x \operatorname{sen} x\,dx

Segunda integración por partes para

\int 2x \operatorname{sen} x\,dx

u = 2x \;\Rightarrow\; du = 2\,dx, \qquad dv = \operatorname{sen} x\,dx \;\Rightarrow\; v = -\cos x

\int 2x \operatorname{sen} x\,dx = -2x\cos x + \int 2\cos x\,dx = -2x\cos x + 2\operatorname{sen} x

Juntando:

F(x) = (x^2 - 1)\operatorname{sen} x + 2x\cos x - 2\operatorname{sen} x = (x^2 - 3)\operatorname{sen} x + 2x\cos x

Comprobación:

F'(x) = 2x\operatorname{sen} x + (x^2 - 3)\cos x + 2\cos x - 2x\operatorname{sen} x = (x^2 - 1)\cos x

. Correcto.

Regla de Barrow, con

\operatorname{sen}\pi = 0

\cos\pi = -1

\operatorname{sen} 0 = 0

F(\pi) = (\pi^2 - 3)\cdot 0 + 2\pi\cdot(-1) = -2\pi, \qquad F(0) = (-3)\cdot 0 + 0 = 0

\int_0^{\pi} (x^2 - 1)\cos x\,dx = F(\pi) - F(0) = -2\pi \approx -6{,}283

(Es negativa porque el integrando es negativo en

(0, 1)

, donde

x^2 - 1 < 0

\cos x > 0

, y en

(\pi/2, \pi)

, donde

x^2 - 1 > 0

\cos x < 0

; ojo: es una integral, no un área.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Cambio

e^x = t

, de modo que

e^x\,dx = dt

e^{2x} = t^2

\int \frac{e^x}{e^{2x} + e^x - 2}\,dx = \int \frac{dt}{t^2 + t - 2}

Factorizamos el denominador:

t^2 + t - 2 = 0 \Rightarrow t = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \dfrac{-1 \pm 3}{2}

, es decir,

t = 1

t = -2

t^2 + t - 2 = (t - 1)(t + 2)

Descomposición en fracciones simples:

\frac{1}{(t - 1)(t + 2)} = \frac{A}{t - 1} + \frac{B}{t + 2} \;\Longrightarrow\; 1 = A(t + 2) + B(t - 1)

Con $t = 1$ : $1 = 3A \Rightarrow A = \dfrac{1}{3}$ .
Con $t = -2$ : $1 = -3B \Rightarrow B = -\dfrac{1}{3}$ .

Integramos:

\int \frac{dt}{t^2 + t - 2} = \frac{1}{3}\int \frac{dt}{t - 1} - \frac{1}{3}\int \frac{dt}{t + 2} = \frac{1}{3}\ln|t - 1| - \frac{1}{3}\ln|t + 2| + C = \frac{1}{3}\ln\left|\frac{t - 1}{t + 2}\right| + C

Deshacemos el cambio (

t = e^x

; como

e^x + 2 > 0

, ese valor absoluto sobra):

\int \frac{e^x}{e^{2x} + e^x - 2}\,dx = \frac{1}{3}\ln\left|e^x - 1\right| - \frac{1}{3}\ln\left(e^x + 2\right) + C = \frac{1}{3}\ln\frac{|e^x - 1|}{e^x + 2} + C

Comprobación: al derivar,

\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{e^x}{e^x - 1} - \dfrac{e^x}{e^x + 2}\right) = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3e^x}{(e^x - 1)(e^x + 2)} = \dfrac{e^x}{e^{2x} + e^x - 2}

. Correcto.

Consejo

En a), el error típico es el signo de la segunda integración por partes: $\int \operatorname{sen} x = -\cos x$ . Deriva tu primitiva al final para comprobarla; es un minuto y salva el apartado.

En b), no olvides deshacer el cambio de variable (el resultado debe quedar en $x$ ), el valor absoluto del logaritmo y la constante $+C$ : los tres se penalizan.