Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

También trata: Distribución normal

Castilla-La Mancha · 2018 · Julio · Opción B

Enunciado

a) En una clase el

80\%

aprueba la asignatura de Biología, el

70\%

aprueba la asignatura de Matemáticas y el

60\%

aprueba Biología y Matemáticas.

a1) Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe alguna de las asignaturas? (0,75 puntos)

a2) Si se elige un estudiante y ha aprobado Biología, ¿cuál es la probabilidad de que también haya aprobado Matemáticas? (0,5 puntos)

b) Un dispensador de cierto refresco está regulado de manera que cada vez descargue

25

cl de media. Si la cantidad de líquido dispensado sigue una distribución normal de varianza

4

:

b1) Calcula razonadamente la probabilidad de que descargue entre

22

28

cl. (0,75 puntos)

b2) Calcula razonadamente la capacidad mínima de los vasos que se usen, redondeada a cl, para que la probabilidad de que se derrame el líquido sea inferior al

2{,}5\%

. (0,5 puntos)

(Se adjunta la tabla de la distribución normal)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a1)}\ P(B \cup M) = 0{,}9 \qquad \text{a2)}\ P(M \mid B) = 0{,}75\;}

\boxed{\;\text{b1)}\ P(22 < X < 28) = 0{,}8664 \qquad \text{b2)}\ c = 29 \text{ cl}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Llamamos

B

= aprueba Biología y

M

= aprueba Matemáticas. "Alguna de las asignaturas" es la unión

B \cup M

, que se calcula con la fórmula de la unión (restando la intersección, que si no se contaría dos veces). En a2) nos dicen que ha aprobado Biología: es la probabilidad condicionada

P(M \mid B)

.

b) Ojo con el dato: nos dan la varianza,

\sigma^2 = 4

, así que la desviación típica es

\sigma = 2

. En b1) tipificamos los dos extremos y usamos la simetría de la normal. En b2) es el problema al revés: conocemos la probabilidad y buscamos el valor. El líquido se derrama si la descarga supera la capacidad

c

del vaso, así que imponemos

P(X > c) < 0{,}025

, buscamos en la tabla el

z

que deja

0{,}975

a su izquierda y deshacemos la tipificación.

Desarrollo

a) Datos:

P(B) = 0{,}8

P(M) = 0{,}7

P(B \cap M) = 0{,}6

.

a1) Aprobar alguna es aprobar al menos una, es decir, la unión:

P(B \cup M) = P(B) + P(M) - P(B \cap M) = 0{,}8 + 0{,}7 - 0{,}6 = 0{,}9

a2) Probabilidad condicionada:

P(M \mid B) = \frac{P(M \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}6}{0{,}8} = 0{,}75

b) Sea

X

= cantidad dispensada (en cl).

X \sim N(\mu, \sigma)

con

\mu = 25

\sigma = \sqrt{4} = 2

, es decir,

X \sim N(25, 2)

. Tipificamos con

Z = \dfrac{X - 25}{2} \sim N(0, 1)

.

b1)

P(22 < X < 28) = P\left(\frac{22 - 25}{2} < Z < \frac{28 - 25}{2}\right) = P(-1{,}5 < Z < 1{,}5)

Por la simetría de la normal:

P(-1{,}5 < Z < 1{,}5) = P(Z < 1{,}5) - P(Z < -1{,}5) = P(Z < 1{,}5) - \big(1 - P(Z < 1{,}5)\big) = 2P(Z < 1{,}5) - 1

En la tabla,

P(Z < 1{,}50) = 0{,}9332

P(22 < X < 28) = 2\cdot 0{,}9332 - 1 = 0{,}8664

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b2) Sea

c

la capacidad del vaso. El líquido se derrama si

X > c

, y queremos

P(X > c) < 0{,}025 \iff P(X \leq c) > 0{,}975 \iff P\left(Z \leq \frac{c - 25}{2}\right) > 0{,}975

En la tabla,

P(Z \leq 1{,}96) = 0{,}9750

. Como la función de distribución es creciente, hace falta

\frac{c - 25}{2} > 1{,}96 \;\Longrightarrow\; c > 25 + 2\cdot 1{,}96 = 28{,}92 \text{ cl}

Redondeando a centilitros (hacia arriba, para que se siga cumpliendo la condición), la capacidad mínima es

c = 29

cl.

Comprobación: con

c = 29

P(X > 29) = P(Z > 2) < P(Z > 1{,}96) = 0{,}025

✓; con

c = 28

no basta, porque

P(X > 28) = P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668 > 0{,}025

Consejo

El dato es la varianza: $\sigma = \sqrt{4} = 2$ . Tipificar dividiendo entre $4$ es el error más repetido en este ejercicio y estropea b1) y b2).

En b2), redondea hacia arriba: con $28$ cl la probabilidad de derrame sería del $6{,}7\%$ . Y en a1), "alguna" es la unión: no olvides restar $P(B \cap M)$ .