Dados los puntos A(-1, 2, 0), B(1, 0, -4) y la recta r \equiv \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R}. a) Calcula razonadamente un punto C de la recta r que forme con A y B un triángulo isósceles con el lado desigual en AB. (1,5 puntos) b) Encuentra razonadamente las ecuaciones paramétricas de la recta perpendicular a la recta r y al vector \overrightarrow{AB} y que pase por el punto A. (1 punto)

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Rectas y planos

Castilla-La Mancha · 2018 · Julio · Opción B

Enunciado

Dados los puntos

A(-1, 2, 0)

B(1, 0, -4)

y la recta

r \equiv \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R}.

a) Calcula razonadamente un punto

C

de la recta

r

que forme con

A

B

un triángulo isósceles con el lado desigual en

AB

. (1,5 puntos)

b) Encuentra razonadamente las ecuaciones paramétricas de la recta perpendicular a la recta

r

y al vector

\overrightarrow{AB}

y que pase por el punto

A

. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ C(3, -2, 1),\quad |CA| = |CB| = \sqrt{33}\;}

\boxed{\;\text{b)}\ x = -1 + \mu,\quad y = 2 + \mu,\quad z = 0,\quad \mu \in \mathbb{R}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Si el lado desigual es

AB

, los dos lados iguales son

CA

CB

: buscamos un punto

C

r

que equidiste de

A

y de

B

. Tomamos el punto genérico de

r

, imponemos

|CA| = |CB|

(mejor con los cuadrados, para no arrastrar raíces) y despejamos

\lambda

. Es lo mismo que cortar

r

con el plano mediador del segmento

AB

, que usaremos como comprobación. Al final hay que ver que

A

B

C

no están alineados, para que de verdad formen un triángulo.

b) Una recta perpendicular a dos direcciones tiene como vector director el producto vectorial de ambas:

\vec v_r \times \overrightarrow{AB}

. Con ese vector y el punto

A

se escriben las paramétricas.

Desarrollo

a) El vector director de

r

\vec v_r = (-1, 1, 1)

y un punto genérico suyo es

C(1 - \lambda,\ \lambda,\ 3 + \lambda)

\overrightarrow{CA} = A - C = (-2 + \lambda,\ 2 - \lambda,\ -3 - \lambda), \qquad \overrightarrow{CB} = B - C = (\lambda,\ -\lambda,\ -7 - \lambda)

Imponemos

|CA|^2 = |CB|^2

(\lambda - 2)^2 + (2 - \lambda)^2 + (\lambda + 3)^2 = \lambda^2 + \lambda^2 + (\lambda + 7)^2

2(\lambda^2 - 4\lambda + 4) + \lambda^2 + 6\lambda + 9 = 2\lambda^2 + \lambda^2 + 14\lambda + 49

3\lambda^2 - 2\lambda + 17 = 3\lambda^2 + 14\lambda + 49 \;\Longrightarrow\; -16\lambda = 32 \;\Longrightarrow\; \lambda = -2

Por tanto

C = (1 + 2,\ -2,\ 3 - 2) = (3, -2, 1)

.

Comprobación de las distancias:

|CA| = |(-4, 4, -1)| = \sqrt{16 + 16 + 1} = \sqrt{33}, \qquad |CB| = |(-2, 2, -5)| = \sqrt{4 + 4 + 25} = \sqrt{33} \ \checkmark

|AB| = |(2, -2, -4)| = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \neq \sqrt{33}

así que

AB

es el lado desigual. Y los tres puntos no están alineados:

\overrightarrow{AB} = (2, -2, -4)

\overrightarrow{AC} = (4, -4, 1)

no son proporcionales (

\frac{2}{4} \neq \frac{-4}{1}

), luego forman un triángulo.

Otra forma (plano mediador). Los puntos que equidistan de

A

B

forman el plano perpendicular a

\overrightarrow{AB}

por el punto medio

M(0, 1, -2)

. Con normal

(1, -1, -2)

(la mitad de

\overrightarrow{AB}

1(x - 0) - 1(y - 1) - 2(z + 2) = 0 \;\Longrightarrow\; x - y - 2z - 3 = 0

Sustituyendo el punto genérico de

r

(1 - \lambda) - \lambda - 2(3 + \lambda) - 3 = -8 - 4\lambda = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = -2

, el mismo punto

C(3, -2, 1)

✓. Como

r

corta al plano en un solo punto,

C

es además el único punto de

r

que cumple la condición.

b) El vector director

\vec w

de la recta buscada es perpendicular a

\vec v_r = (-1, 1, 1)

y a

\overrightarrow{AB} = (2, -2, -4)

\vec v_r \times \overrightarrow{AB} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & -4 \end{vmatrix} = (-4 + 2,\ 2 - 4,\ 2 - 2) = (-2, -2, 0)

Tomamos

\vec w = (1, 1, 0)

, proporcional. Comprobación:

\vec w \cdot \vec v_r = -1 + 1 + 0 = 0

✓ y

\vec w \cdot \overrightarrow{AB} = 2 - 2 + 0 = 0

✓.

La recta pasa por

A(-1, 2, 0)

s \equiv \begin{cases} x = -1 + \mu \\ y = 2 + \mu \\ z = 0 \end{cases} \qquad \mu \in \mathbb{R}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Lado desigual en $AB$ " significa que los iguales son $CA$ y $CB$ : el punto $C$ equidista de $A$ y $B$ . Trabaja con las distancias al cuadrado y verás que el $\lambda^2$ se cancela.

Comprueba siempre que los tres puntos no están alineados (si no, no hay triángulo). En b), verifica con dos productos escalares que el vector director es perpendicular a los dos dados.