Dadas las matrices A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} a) Halla razonadamente dos parámetros a y b tales que A^2 = aA + bI. (1,25 puntos) b) Calcula razonadamente todas las matrices X que verifican que (A - X)(A + X) = A^2 - X^2. (1,25 puntos)

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Castilla-La Mancha · 2018 · Julio · Opción B

Enunciado

Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

a) Halla razonadamente dos parámetros

a

b

tales que

A^2 = aA + bI

. (1,25 puntos)

b) Calcula razonadamente todas las matrices

X

que verifican que

(A - X)(A + X) = A^2 - X^2

. (1,25 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ a = 2,\quad b = -1\;}

\boxed{\;\text{b)}\ X = \begin{pmatrix} p & q \\ 0 & p \end{pmatrix},\quad p, q \in \mathbb{R}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Se calcula

A^2

, se escribe

aA + bI

como una matriz con

a

b

y se igualan término a término: sale un sistema sencillo.

b) La clave está en que el producto de matrices no es conmutativo. Si desarrollamos

(A - X)(A + X)

con cuidado aparecen los términos

AX

-XA

, que con números se anularían pero con matrices no tienen por qué. La igualdad del enunciado equivale entonces a

AX = XA

: hay que buscar todas las matrices que conmutan con

A

. Para ello escribimos

X

con cuatro incógnitas, igualamos

AX

XA

y resolvemos el sistema.

Desarrollo

a) Calculamos

A^2

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Por otro lado,

aA + bI = \begin{pmatrix} a & -3a \\ 0 & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + b & -3a \\ 0 & a + b \end{pmatrix}

Igualando término a término:

\left\{\begin{array}{l} a + b = 1 \\ -3a = -6 \end{array}\right. \;\Longrightarrow\; a = 2, \quad b = 1 - 2 = -1

Comprobación:

2A - I = \begin{pmatrix} 2 & -6 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = A^2

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Desarrollamos el primer miembro respetando el orden de los factores:

(A - X)(A + X) = A^2 + AX - XA - X^2

Por tanto,

(A - X)(A + X) = A^2 - X^2 \iff AX - XA = 0 \iff AX = XA

Buscamos las matrices

X = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}

que conmutan con

A

(tienen que ser

2 \times 2

para que las operaciones tengan sentido):

AX = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p - 3r & q - 3s \\ r & s \end{pmatrix}

XA = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p & -3p + q \\ r & -3r + s \end{pmatrix}

Igualando término a término:

\left\{\begin{array}{l} p - 3r = p \\ q - 3s = -3p + q \\ r = r \\ s = -3r + s \end{array}\right. \;\Longrightarrow\; \left\{\begin{array}{l} r = 0 \\ s = p \end{array}\right.

p

q

quedan libres. Las matrices buscadas son

X = \begin{pmatrix} p & q \\ 0 & p \end{pmatrix}, \qquad p, q \in \mathbb{R}

Comprobación con un caso concreto,

X = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

AX = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

XA = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

✓. En cambio,

X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

no cumple la igualdad, porque tiene

r \neq 0

Consejo

El fallo típico en b) es aplicar la "suma por diferencia" como con números y decir que la igualdad se cumple siempre. Con matrices $(A - X)(A + X) = A^2 + AX - XA - X^2$ : los términos cruzados solo se cancelan si $A$ y $X$ conmutan.

Al final, pon la solución como una familia con sus parámetros libres ( $p, q \in \mathbb{R}$ ) y comprueba con un ejemplo que $AX = XA$ .