Calcula razonadamente las siguientes integrales: a) \displaystyle\int \frac{2x^3 - x^2 + 2}{x^2 - x}\,dx b) \displaystyle\int_1^2 (2x - 3)\,e^{x - 1}\,dx (1,25 puntos por integral)

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Castilla-La Mancha · 2018 · Julio · Opción B

Enunciado

Calcula razonadamente las siguientes integrales:

a)

\displaystyle\int \frac{2x^3 - x^2 + 2}{x^2 - x}\,dx

\displaystyle\int_1^2 (2x - 3)\,e^{x - 1}\,dx

(1,25 puntos por integral)

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\ x^2 + x - 2\ln|x| + 3\ln|x - 1| + C\;}

\boxed{\;\text{b)}\ 3 - e \approx 0{,}2817\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Es una integral racional en la que el grado del numerador (

3

) es mayor que el del denominador (

2

). Primero se divide: queda un polinomio (inmediato) más una fracción propia. El denominador

x^2 - x = x(x - 1)

tiene dos raíces reales simples, así que la fracción propia se descompone en fracciones simples

\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}

, que dan logaritmos.

b) Es el producto de un polinomio de grado

1

por una exponencial: el caso típico de integración por partes, derivando el polinomio (

u = 2x - 3

) e integrando la exponencial. Al ser definida, se termina con la regla de Barrow.

Desarrollo

a) División. Dividimos

2x^3 - x^2 + 2

entre

x^2 - x

2x^3 - x^2 + 2 = (x^2 - x)(2x + 1) + (x + 2)

(en efecto,

(x^2 - x)(2x + 1) = 2x^3 - x^2 - x

, y sumando el resto

x + 2

sale el numerador). Por tanto,

\frac{2x^3 - x^2 + 2}{x^2 - x} = 2x + 1 + \frac{x + 2}{x(x - 1)}

Fracciones simples.

\frac{x + 2}{x(x - 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} \;\Longrightarrow\; x + 2 = A(x - 1) + Bx

Para $x = 0$ : $2 = -A \;\Longrightarrow\; A = -2$ .
Para $x = 1$ : $3 = B$ .

Integración.

\int \frac{2x^3 - x^2 + 2}{x^2 - x}\,dx = \int (2x + 1)\,dx - \int \frac{2}{x}\,dx + \int \frac{3}{x - 1}\,dx

= x^2 + x - 2\ln|x| + 3\ln|x - 1| + C

Comprobación derivando:

2x + 1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x - 1} = 2x + 1 + \frac{-2(x - 1) + 3x}{x(x - 1)} = 2x + 1 + \frac{x + 2}{x^2 - x}

✓.

b) Por partes,

\int u\,dv = uv - \int v\,du

, con

u = 2x - 3 \;\Rightarrow\; du = 2\,dx, \qquad dv = e^{x - 1}\,dx \;\Rightarrow\; v = e^{x - 1}

Una primitiva es

\int (2x - 3)\,e^{x - 1}\,dx = (2x - 3)\,e^{x - 1} - \int 2e^{x - 1}\,dx = (2x - 3)\,e^{x - 1} - 2e^{x - 1} = (2x - 5)\,e^{x - 1}

(comprobación:

\left[(2x - 5)e^{x - 1}\right]' = 2e^{x - 1} + (2x - 5)e^{x - 1} = (2x - 3)e^{x - 1}

✓).

Aplicamos la regla de Barrow:

\int_1^2 (2x - 3)\,e^{x - 1}\,dx = \Big[(2x - 5)\,e^{x - 1}\Big]_1^2 = (4 - 5)\,e^{1} - (2 - 5)\,e^{0} = -e + 3

\int_1^2 (2x - 3)\,e^{x - 1}\,dx = 3 - e \approx 0{,}2817

Observa que el integrando es negativo en

\left[1, \frac{3}{2}\right)

y positivo en

\left(\frac{3}{2}, 2\right]

: el resultado es la diferencia entre las dos zonas, no un área, y por eso sale un número pequeño.

Consejo

En una racional con el numerador de grado mayor o igual que el denominador, divide primero: si descompones directamente en fracciones simples, la descomposición sale mal.

No olvides el valor absoluto en los logaritmos ni la constante $C$ en la indefinida. En b), al aplicar Barrow, cuidado con $e^{0} = 1$ en el límite inferior y con el signo de $(2x - 5)$ .