Optimización

a) Un punto de la parábola es $(x,\ x^2 + 1)$, así que la suma de sus coordenadas es$$S(x) = x + (x^2 + 1) = x^2 + x + 1, \qquad x \in \mathbb{R}$$Derivamos e igualamos a cero:$$S'(x) = 2x + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; x = -\frac{1}{2}$$Segunda derivada: $S''(x) = 2 > 0$, luego en $x = -\frac{1}{2}$ hay un mínimo relativo. Además $S'(x) < 0$ para $x < -\frac{1}{2}$ y $S'(x) > 0$ para $x > -\frac{1}{2}$: $S$ decrece y luego crece en todo $\mathbb{R}$, así que es el mínimo absoluto (la gráfica de $S$ es una parábola con las ramas hacia arriba y ese es su vértice).

El punto es$$x = -\frac{1}{2}, \qquad y = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = \frac{5}{4}$$y la suma mínima vale $S\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$.

b) Sea $f(x) = x^2 + 1$. En $x_0 = -\frac{1}{2}$:$$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{5}{4}, \qquad f'(x) = 2x \;\Longrightarrow\; f'\left(-\frac{1}{2}\right) = -1$$La tangente tiene pendiente $-1$; la normal es perpendicular, con pendiente$$m_n = -\frac{1}{f'(x_0)} = -\frac{1}{-1} = 1$$Recta normal por $\left(-\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right)$:$$y - \frac{5}{4} = 1\cdot\left(x + \frac{1}{2}\right) \;\Longrightarrow\; y = x + \frac{7}{4} \quad (\text{o bien } 4x - 4y + 7 = 0)$$Comprobación: para $x = -\frac{1}{2}$, $y = -\frac{1}{2} + \frac{7}{4} = \frac{5}{4}$ ✓.

Por qué coinciden los puntos. Las rectas $x + y = c$ son las de suma de coordenadas constante, todas de pendiente $-1$. La suma mínima se alcanza en el punto donde una de esas rectas toca a la parábola sin cortarla, es decir, donde la tangente a la parábola tiene pendiente $-1$: justo en $x = -\frac{1}{2}$. Por eso allí la normal tiene pendiente $1$.